1. Cộng vế theo vế hệ đã cho ta có: [imath](a+b+c)(x+y-1)=0\Rightarrow a+b+c=0[/imath] hoặc [imath]x+y=1[/imath]
Với [imath]a+b+c=0[/imath] ta dễ dàng suy ra [imath]a^3+b^3+c^3=3abc \Rightarrow[/imath] đpcm
Với [imath]x+y=1 \Rightarrow y=1-x[/imath] thay vào ta được hệ : [imath]\left\{\begin{matrix} (a-b)x=c-b\\ (b-c)x=a-c\\ (c-a)x=b-a \end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)x^3=-(a-b)(b-c)(c-a)[/imath]
Nếu [imath]a=b[/imath] thì ta suy ra được [imath]a=b=c \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc \Rightarrow[/imath] đpcm.
Tương tự với [imath]b=c,c=a[/imath]
Nếu [imath]x^3=-1 \Rightarrow x=-1[/imath][imath]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=b-c\\ b-c=c-a\\ c-a=a-b \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=a+c\\ b=2c-a \end{matrix}\right.\Rightarrow a+c=(2c-a).2=4c-2a\Rightarrow 3a=3c\Rightarrow a=c\Rightarrow a=b=c[/imath]
Vậy ta có đpcm.
2. a) Cộng vế theo vế 2 phương trình ta có: [imath]x^4-2x^2y+y^2+2x^2-2y=3\Rightarrow (x^2-y+1)^2=4\Rightarrow (x^2-y-1)(x^2-y+3)=0[/imath]
Từ đó [imath]x^2=y+1[/imath] hoặc [imath]x^2=y-3[/imath]. Thế vào phương trình 2, giải hệ ẩn y rồi tìm x.
Kết luận: [imath](x,y)\in \left \{ (-1,0),(1,0) \right \}[/imath]
b) [imath]x^2-3x-3+2(x-2)\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow (x-2)^2+2(x-2)\sqrt{x+2}+x+2-9=0\Leftrightarrow (x-2+\sqrt{x+2})^2-9=0\Leftrightarrow (x-5+\sqrt{x+2})(x+1+\sqrt{x+2})=0[/imath]
Từ đó [imath]\sqrt{x+2}=5-x[/imath] hoặc [imath]\sqrt{x+2}=-(x+1)[/imath]. Bình phương từng phương trình, chú ý điều kiện để giải.
Kết luận: [imath]S=\left \{ \frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{11-\sqrt{29}}{2} \right \}[/imath]
3. a) Giả sử tồn tại n nguyên dương thỏa mãn.
Vì 2n + 2021 là số chính phương lẻ nên chia 4 dư 1, suy ra n chia hết cho 2.
3n + 2020 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4, suy ra n chia hết cho 4.
Mà 2n + 2021 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1, vô lí với n chia hết cho 4.
Vậy không tồn tại n thỏa mãn.
b) Ta thấy: x = 1 không thỏa mãn. Với [imath]x\geq 2[/imath]
Đặt [imath]k=\frac{x^2-2}{xy+2}> 0(k\in \mathbb{N})[/imath]
Ta thấy: [imath]k> 0\Rightarrow k\geq 1\Rightarrow x^2-2\geq xy+2\Rightarrow x^2-xy\geq 4> 0\Rightarrow x(x-y)> 0\Rightarrow x> y[/imath]
Xét y = 1 ta cũng thấy không thỏa mãn. Vậy [imath]y\geq 2[/imath]
Ta có: [imath]x^2-2\vdots xy+2\Rightarrow x^2y^2-2y^2\vdots xy+2\Rightarrow (x^2y^2-4)+4-2y^2\vdots xy+2\Rightarrow 2y^2-4\vdots xy+2[/imath]
[imath]\Rightarrow 2y^2-4-(x^2-2)\vdots xy+2\Rightarrow 2y^2-x^2-2\vdots xy+2[/imath]
+ Nếu [imath]2y^2-x^2-2< 0\Rightarrow x^2+2-2y^2> 0[/imath]
Vì [imath]x^2+2-2y^2\vdots xy+2\Rightarrow x^2+2-2y^2\geq xy+2[/imath] [imath]\Rightarrow x^2-xy-2y^2\geq 0\Rightarrow (x+y)(x-2y)\geq 0\Rightarrow x\geq 2y[/imath])
Từ đó [imath]2y^2-4=2y.y-4\leq xy-4< xy+2[/imath](vô lí vì [imath]2y^2-4\vdots xy+2\Rightarrow 2y^2-4\geq xy+2 > 0[/imath])
+ Nếu [imath]2y^2-x^2-2> 0\Rightarrow 2y^2-x^2-2\geq xy+2> y^2+2\Rightarrow y^2-x^2> 4> 0[/imath](vô lí vì [imath]y< x[/imath])
+ Nếu [imath]2y^2-x^2-2=0\Rightarrow x^2=2(y^2-1)\vdots 2\Rightarrow x\vdots 2\Rightarrow x^2\vdots 4\Rightarrow y^2-1\vdots 2\Rightarrow[/imath] y lẻ
Đặt [imath]y=2m+1\Rightarrow x^2=2(y^2-1)=2(4m^2+4)=8m(m+1)[/imath]
Vì [imath]m(m+1)\vdots 2\Rightarrow \frac{x^2}{16}=(\frac{x}{4})^2=\frac{m(m+1)}{2}[/imath]
Đặt [imath]\frac{x}{4}=n\in \mathbb{N}\Rightarrow 2n^2=m(m+1)[/imath]
Vì [imath](m,m+1)=1;m< m+1[/imath] nên xảy ra các trường hợp:
* [imath]m=1,m+1=2n^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\\ n=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=3 \end{matrix}\right.(t/m)[/imath]
* [imath]m=2,m+1=n^2\Rightarrow n^2=3[/imath](loại)
* [imath]m=n^2,m+1=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\\ n=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=3 \end{matrix}\right.[/imath]
* [imath]m=2n^2,m+1=1\Rightarrow m=0,n=0\Rightarrow x=0,y=1[/imath](loại)
Vậy [imath](x,y)\in \left \{ (4,3) \right \}[/imath]
4. a) Chứng minh [imath]\Delta AOO'\sim \Delta ACD\Rightarrow \frac{AO}{AC}=\frac{OO'}{CD}\Rightarrow CD=\frac{OO'}{AO}.AC[/imath]
CD lớn nhất khi AC lớn nhất hay AC là đường kính của (O)
b) Vẽ hình bình hành AOIO'.
Ta có: [imath]AO=OI'=OM;AO'=OI=O'N,\widehat{AOI}=\widehat{AO'I}[/imath]
Mà [imath]\widehat{AOM}=\widehat{AO'N}\Rightarrow \widehat{IOM}=\widehat{IO'N}[/imath]
Ta chứng minh được [imath]\Delta IOM=\Delta NO'I\Rightarrow IM=IN\Rightarrow[/imath] Trung trực của MN đi qua I.
Mà I cố định nên ta có đpcm.
5. [imath]P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+3)^2}+\frac{4}{(y+3)^2}+\frac{4z^2}{(1+2z)^2}\geq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y+3}+\frac{2}{y+3}+\frac{2z}{1+2z})^2=\frac{1}{4}(\frac{1}{x+1}+\frac{4}{y+3}+\frac{1}{\frac{1}{2z}+1})^2\geq \frac{1}{4}.[\frac{(1+2+1)^2}{x+1+y+3+\frac{1}{2z}+1}]^2=\frac{1}{4}.(\frac{16}{x+y+\frac{1}{2z}+5})^2[/imath]
Từ giả thiết ta có: [imath]\frac{3}{z}\geq \frac{1}{z^2}+x^2+y^2\Rightarrow \frac{3}{z}+6\geq \frac{1}{z^2}+4+x^2+1+y^2+1\geq \frac{4}{z}+2x+2y\Rightarrow 2x+2y+\frac{1}{z}\leq 6\Rightarrow x+y+\frac{1}{z}\leq 3\Rightarrow P\geq \frac{1}{4}(\frac{16}{3+5})^2=1[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]x=y=1,z=\frac{1}{2}[/imath]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
