Câu 5:
Xét bài toán phụ: Với a>0 thì [tex]A=\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a+1)^{2}}}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}[/tex]
Thật vậy:
Xét $A=\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a+1)^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{a^{2}(a+1)^{2}+(a+1)^{2}+a^{2}}{a^{2}(a+1)^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{a^{2}(a^{2}+2a+1+1)+(a+1)^{2}}{a^{2}(a+1)^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{a^{4}+2a^{2}(a+1)+(a+1)^{2}}{a^{2}(a+1)^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{(a^{2}+a+1)^{2}}{a^{2}(a+1)^{2}}}$
$=\frac{a^{2}+a+1}{a(a+1)}$
$=1+1\frac{1}{a(a+1)}$
$=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$ ( vì a>0 nên A>0)
Trở lại bài toán chính
Áp dụng bài toán phụ, ta được:
$Q=\left ( 1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )+\frac{101}{n+1}$
$=n+\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )+\frac{101}{n+1}$
$=n+\left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )+\frac{101}{n+1}=n+1+\frac{100}{n+1}\geq 2\sqrt{(n+1).\frac{100}{n+1}}$
$=2\sqrt{100}=20$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow n+1=\frac{100}{n+1}\Leftrightarrow (n+1)^{2}=100\Leftrightarrow n+1=10[/tex]( vì n>0) [tex]\Leftrightarrow n=9[/tex]
Vậy...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
