Toán Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên thái bình

[Nguyễn Xuân Hiếu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Câu 1:
1)Giả sử cả hai phương trình đều có nghiệm khi đó denta của cả hai phương trình phải lớn hơn hoặc bằng 0:
$\Delta'_1=a^2-2a^2+b^2-1=-a^2+b^2-1 \geq 0
\\\Delta'_2=b^2-3b^2+ab=-2b^2+ab \geq 0
\\\Leftrightarrow \Delta'_1+\Delta'_2=-a^2-b^2+ab-1 \geq 0
\\\Leftrightarrow -2a^2-2b^2+2ab-2 \geq 0
\\\Leftrightarrow -(a-b)^2-a^2-b^2-2 \geq 0$
Điều này hiển nhiên vô lý do $(a-b)^2,a^2,b^2 \geq 0$.
Do đó tồn tại ít nhất một phương trình vô nghiệm.
2)$\dfrac{x^2}{y^2+z^2-x^2}
\\=\dfrac{x^2}{(y-x)(y+x)+z^2}
\\=\dfrac{x^2}{(y-x).(-z)+z^2}
\\=\dfrac{x^2}{z(x+y+z)-2zy}
\\=\dfrac{x^2}{-2zy}$
Tương tự cộng vế lại quy đồng($x,y,z \neq 0$) lên ta sẽ có:
$P=\dfrac{-1}{2}(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz})
\\P=\dfrac{-1}{2}(\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{xyz}+3)
\\P=\dfrac{-1}{2}[\dfrac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{xyz}+3]
\\P=\dfrac{-3}{2}$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Câu 2:
1)$\sqrt{x^2+4x+12}=2x-4+\sqrt{x+1}
\\\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^2+2(x+1)+9}=2(x+1)+\sqrt{x+1}-6$
Đặt $\sqrt{x+1}=a (a \geq 0)$
Thay vào phương trình ta có:$\sqrt{a^4+2a^2+9}=2a^2+a-6$
Đặt điều kiện tiến hành bình phương 2 vế ta sẽ đưa về dạng:
$-(a^2-a-3)(3a^2+7a-9)=0$
Tới đây giải ra kết hợp điều kiện kết luận.
2)
$\left\{\begin{matrix}
&x^2+y^2-4xy(\dfrac{2}{x-y}-1)=4(4+xy)(1) \\
& \sqrt{x-y}-3\sqrt{2y^2-y+1}=2y^2-x+3(2)
\end{matrix}\right.$
Đặt $\sqrt{x-y}=a (a \geq 0),\sqrt{2y^2-y+1}=b (b \geq 0)$
Khi đó phương trình thứ 2 của hệ tương đương:
$a+3b=b^2-a^2+2
\\\Rightarrow (a-b+2)(a+b-1)=0$
Mặt khác: phương trình thứ nhất của hệ có thể biến đổi thành:
$\dfrac{(x-y-4)(x^2+4x+y^2-4y)}{x-y}=0$
Do đó $x-y=4$ hoặc $x^2+4x+y^2-4y=0$
Xét trường hợp $x-y=4$ khi đó $a=\sqrt{x-y}=2$.
Dó đó:
*)$a-b+2=0 \Rightarrow b=4 \Rightarrow \sqrt{2y^2-y+1}=4 \Rightarrow y_1=3,y=\dfrac{-5}{2}$.
Thế vào tìm $x$ thì được $x_1=7,x_2=\dfrac{3}{2}$

Tương tự xét các th còn lại sẽ tìm được nghiệm..

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Câu 3:
$x^3-y^3=6xy+3
\\\Rightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=6xy+3
\\\Rightarrow (x-y)[(x-y)^2+3xy]=6xy+3
\\\Rightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)=6xy+3$.
Đặt $x-y=a,xy=b$
Khi đó:
$a^3+3ab=6b+3
\\\Rightarrow 3b(a-2)=-a^3+3
\\\Rightarrow 3b=\dfrac{-a^3+3}{a-2}=\dfrac{-(a^3-8)-5}{a-2}=-(a^2+2a+4)-\dfrac{5}{a-2}$.
Để $a,b$ nguyên thì $a-2$ là Ư(5) từ đó giải $a,b$ tìm $x,y$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Câu tổ hợp:
Gọi $5$ số tự nhiên phân biệt đó lần lượt là: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ và $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$
Giả sử tồn tại một số $a_1$ nhỏ hơn $5$ và 4 số còn lại lớn hơn hoặc bằng $5$.
Khi đó:$a_1+a_2+a_3 \leq 4+a_4-2+a_5-2=a_4+a_5$.
Trái với giả thuyết là tổng 3 số luôn lớn hơn 3 số còn lại.
Trường hợp tồn tại 2 số $a_1,a_2$ nhỏ hơn $5$ và 3 số còn lại lớn hơn bằng $5$.
$a_1+a_2+a_3 \leq 4+3+a_3=5+2+a_3 \leq a_4+2+a_5-2=a_4+a_5$(Vô lý)
Tương tự với các trường hợp còn lại...