đề thi tuyển sinh chuyên KHTN vòng 1

[thienvamai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:
$ \cdot 1$ Giải phương trình
$$\sqrt{3x+1} + \sqrt{2-x} = 3$$
$ \cdot 2$ Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{x}+ y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2}\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}(x + \dfrac{1}{y}) = xy + \dfrac{1}{xy} \end{matrix}\right.$$

Câu 2:
$ \cdot 1$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$$.
$\cdot 2$ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc} - (10d+e)$ chia hết cho $101$ ?

Câu 3:
Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $AB < AC$. Đường phân giác của $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D \neq A$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $O$. Giả dụ $(ABM)$ cắt $AC$ tại $F$. CMR:
$1) \triangle BDM \sim \triangle BCF$
$2) EF \perp AC$

Câu 4:
Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abc + bcd + cad + bad = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$P = 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9d^3$$

Nguồn: diendantoanhoc.net
​

 

[anh892007]

Bài 1 nhé:
ĐK: [tex] \frac{-1}{3} \leq x \leq 2 [/tex]
Đặt [tex]sqrt (3x+1)=a [/tex]
[tex]sqrt(2-x)=b[/tex]
Như vậy ta sẽ có
[tex]a+b=3[/tex] (1)
Và [tex]a^2 +3b^2 =7[/tex] (2)
Thay [tex] a=3-b [/tex] vào pt (2) ta được
[tex] (3-b)^2 +3b^2 =7 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4b^2-6b+9=7[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (b-1)(2b-1) =0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow b=1 [/tex] hoặc [tex] b=\frac{1}{2} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2-x =1 [/tex] hoặc [tex] 2-x =\frac{1}{4} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=1 [/tex] hoặc [tex] x= \frac{7}{4} [/tex] thỏa mãn đk

 

[thienvamai]

$\cdot 2$ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc} - (10d+e)$ chia hết cho $101$ ?

Nghịch bài này vậy
vì 99<$\overline{abc}$-$\overline{de}$<1000
=> $\overline{abc}$-$\overline{de}$ chỉ có thể là 101,202,303,404,505,606,707,808,909
trừ số 909, các số còn lại đều có 99 trường hợp tạo ra số $\overline{de}$
từ đây có thể dễ dàng tìm ra kết quả bài toán

 

[toanhoc198]

cau1

2.
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{}(x+\frac{1}{y})+(y+\frac{1}{x})=\frac{9}{2}\\ \frac{1}{4}+\frac{3}{2}(x+\frac{1}{y})+2=xy+\frac{x}{x}+\frac{1}{xy}+\frac{y}{y}[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}(x+\frac{1}{y})+(y+\frac{1}{x})=\frac{9}{2}\\ \frac{9}{4}+\frac{3}{2}(x+\frac{1}{y})=(x+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}+y)\end{array}\right.[/TEX]
Đặt [TEX]x+\frac{1}{y}=a[/TEX];
[TEX]y+\frac{1}{x}=b[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}a+b=\frac{9}{2}\\ \frac{9}{4}+\frac{3}{2}a=ab\end{array}\right.[/TEX]
Giải ra
[TEX]\Rightarrow \left\{\begin{array}a=\frac{3}{2}\\ b=3\end{array}\right.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left\{\begin{array}x+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\\ y+\frac{1}{x}=3\end{array}\right.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}x=1\\ y=2\end{array}\right.[/TEX]
hoặc
[TEX]\left\{\begin{array}x=\frac{1}{2}\\ y=1\end{array}\right.[/TEX]

 

[conga222222]

ớ câu 4 tính ra lẻ là sao ??? có sai đề ko vậy ?
................................

 

[freakie_fuckie]

ớ câu 4 tính ra lẻ là sao ??? có sai đề ko vậy ?
................................

Chả hiểu sao năm trước làm đề vòng 1 tổng hợp được 7 đ. &gt;-) 8-}


À mà câu 1 bài 2 các bạn làm thế nào nhỉ, sao nhân liên hợp với khử mẫu không ra. 3:-O

@ conga : câu max min cậu dùng gì? Viết được cái bđt a^3 + b^3 + c^3 >= abc ròi chả biết làm sao nữa. \\/

 

[tranvanhung7997]

Bài Tìm MIN
Mình nghĩ làm thế này nhưng ra số lẻ nên không biết có đúng không
Dễ thấy dấu "=" có <=> a=b=c. Vì vậy cần tạo để dấu "=" xảy ra.
Áp dụng BĐT CÔ SI ta có: [TEX]m.a^3+m.b^3+m.c^3\geq3mabc[/TEX]
và: [TEX]n.b^3+n.c^3+3d^3 \geq 3\sqrt[3]{3n^2}bcd[/TEX]
T/tự: [TEX]n.c^3+n.a^3+3d^3 \geq 3\sqrt[3]{3n^2}cda[/TEX]
[TEX]n.a^3+n.b^3+3d^3 \geq 3\sqrt[3]{3n^2}bcd[/TEX]
Cộng theo vế các BĐT trên, ta được:
[TEX](m+2n).(a^3+b^3+c^3) \geq 3.(m+\sqrt[3]{3n^2}).(abc + bcd + cda +dab)[/TEX]
Ta phải cân bằng hệ số m và n để sử dụng giả thiết abc + bcd + cda +dab =1
\Rightarrow Cần giải hệ: [TEX]\left\{\begin{m+2n=4 \\ m=\sqrt[3]{3n^2}}[/TEX]
Tìm ra nghiệm (m; n) sau thay số vào bài là xong.
Giải hệ đó PT(1) mình rút n qua m rồi thay vào PT(2) thì lên bậc 3 có nghiệm lẻ nhưng giải được thôi vì PT bậc 3 có cách giải tổng quát mà.

 

[huongmot]

Câu 2:
$ \cdot 1$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$$.

Câu này bị chép nhầm đề rồi ạ
Đề đúng phải là:
Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{a+b} + \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$$.
Giải

Ta có: $8abc= (a+b)(b+c)(c+a)= 2abc+ ac^2+a^2b+a^2c+b^2c+bc^2+ab^2$
Xét:
$\dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$
$= \dfrac{3}{4}+\dfrac{ab(a+c)+bc(a+b)+ ca(b+c)}{8abc}$
$=\dfrac{6abc+ a^2c+abc+abc+b^2c+abc+ac^2}{8abc}$
$=\dfrac{9abc+ a^2b+b^2c+c^2a}{(a+c)(b+c)(c+a)}$
$= \dfrac{ abc+ 8abc+ a^2b+b^2c+c^2a}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$=\dfrac{3abc + ac^2+a^2b+a^2c+b^2c+bc^2+ab^2+a^2b+b^2c+c^2a}{(a+b)(b+c)(a+c)}$
$=\dfrac{ (abc+ ac^2+ bc^2+ b^2c)+(abc+ a^2b+b^2c+b^2a)+(abc+ac^2+a^2c+a^2b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$=\dfrac{a(c+b)(c+a)+b(a+b)(c+a)+c(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$(đpcm)