Toán Đề thi THPT chuyên Phan Bội Châu

TT is my love

Học sinh
Thành viên
19 Tháng ba 2017
36
8
31
22
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: (7 điểm)
a) Giải phương trình: 3x+7x4=14x+4203x+7\sqrt{x-4}=14\sqrt{x+4}-20
b)Giải hệ phương trình:
{6x+4y+2=(x+1)26y+4x2=(y1)2\left\{\begin{matrix} 6x+4y+2=(x+1)^{2} & \\ 6y+4x-2=(y-1)^{2}& \end{matrix}\right.
Câu 2: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
S(n)=n22017n+10S(n)=n^{2}-2017n+10 với S(n) là tổng các chữ số của n
Câu 3: (2 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn cac\geq a. Chứng minh rằng:
(aa+b)2+(bb+c)2+4(cc+a)232(\frac{a}{a+b})^{2}+(\frac{b}{b+c})^{2}+4(\frac{c}{c+a})^{2}\geq \frac{3}{2}
Câu 4: (2 điểm)
Trong đường tròn (O) có bán kính bằng 21 đơn vị, cho 399 điểm bất kì. Chứng minh rằng có vô số hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường tròn (O) và không chứa điểm nào trong 399 điểm đó( Bài này khó hiểu :v)
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
23
Đắk Nông
Câu 2:
S(n)=n22017n+10=n(n2017)+10S(n)=n^2-2017n+10=n(n-2017)+10.
Dễ thấy nếu n<2017n<2017 thì S(n)<0S(n)<0.
n=2017n=2017 thì S(n)=10S(n)=10 thõa mãn.
n2018n \geq 2018 thì S(n)=n22017n+10>nS(n)=n^2-2017n+10>n.
Dễ thấy nn lúc này là số có 4 chữ số trở lên nên không tồn tại S(n)>nS(n)>n
Vậy n=2017n=2017
Câu 1a)
Phương trình tương đương:
3(x5)+7(x41)=14(x+43)3(x5)+7(x5)x4+1=14(x5)x+4+33(x-5)+7(\sqrt{x-4}-1)=14(\sqrt{x+4}-3) \\\Leftrightarrow 3(x-5)+\dfrac{7(x-5)}{\sqrt{x-4}+1}=\dfrac{14(x-5)}{\sqrt{x+4}+3}.
Tới đây xét x5=0x=5x-5=0 \\\Rightarrow x=5.
Xét x5x \neq 5 thì 3+7x4+1=14x+4+33+\dfrac{7}{\sqrt{x-4}+1}=\dfrac{14}{\sqrt{x+4}+3}.
Dễ thấy VT<3,VP>3VT<3,VP>3 với điều kiện của xx do đó x=5x=5 là nghiệm duy nhất.
Câu 1b)
Trừ 2 vế của phương trình ta sẽ thu được :2x2y+4=(x+y)(xy+2)(xy+2)(x+y2)=02x-2y+4=(x+y)(x-y+2) \Rightarrow (x-y+2)(x+y-2)=0.
Tới đây dễ rồi.
 
Last edited:

Nguyễn Mạnh Trung

Học sinh chăm học
Thành viên
9 Tháng năm 2017
450
218
81
22
Đắk Nông
Câu 2:
S(n)=n22017n+10=n(n2017)+10S(n)=n^2-2017n+10=n(n-2017)+10.
Dễ thấy nếu n<2017n<2017 thì S(n)<0S(n)<0.
n=2017n=2017 thì S(n)=10S(n)=10 thõa mãn.
n2018n \geq 2018 thì S(n)=n22017n+10>nS(n)=n^2-2017n+10>n.
Dễ thấy nn lúc này là số có 4 chữ số trở lên nên không tồn tại S(n)>nS(n)>n
Vậy n=2017n=2017
Câu 1a)
Phương trình tương đương:
3(x5)+7(x41)=14(x+43)3(x5)+7(x5)x4+1=14(x5)x+4+33(x-5)+7(\sqrt{x-4}-1)=14(\sqrt{x+4}-3) \\\Leftrightarrow 3(x-5)+\dfrac{7(x-5)}{\sqrt{x-4}+1}=\dfrac{14(x-5)}{\sqrt{x+4}+3}.
Tới đây xét x5=0x=5x-5=0 \\\Rightarrow x=5.
Xét x5x \neq 5 thì 3+7x4+1=14x+4+33+\dfrac{7}{\sqrt{x-4}+1}=\dfrac{14}{\sqrt{x+4}+3}.
Dễ thấy VT<3,VP>3VT<3,VP>3 với điều kiện của xx do đó x=5x=5 là nghiệm duy nhất.
Câu 1b)
Trừ 2 vế của phương trình ta sẽ thu được :2x2y+4=(x+y)(xy+2)(xy+2)(x+y2)=02x-2y+4=(x+y)(x-y+2) \Rightarrow (x-y+2)(x+y-2)=0.
Tới đây dễ rồi.
có điều câu 1b bác cho em hỏi lm thế nào để phân tích đa thức thành nhân tủ vậy ạ?
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
23
Đắk Nông
Câu 1: (7 điểm)
a) Giải phương trình: 3x+7x4=14x+4203x+7\sqrt{x-4}=14\sqrt{x+4}-20
b)Giải hệ phương trình:
{6x+4y+2=(x+1)26y+4x2=(y1)2\left\{\begin{matrix} 6x+4y+2=(x+1)^{2} & \\ 6y+4x-2=(y-1)^{2}& \end{matrix}\right.
Câu 2: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
S(n)=n22017n+10S(n)=n^{2}-2017n+10 với S(n) là tổng các chữ số của n
Câu 3: (2 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn cac\geq a. Chứng minh rằng:
(aa+b)2+(bb+c)2+4(cc+a)232(\frac{a}{a+b})^{2}+(\frac{b}{b+c})^{2}+4(\frac{c}{c+a})^{2}\geq \frac{3}{2}
Câu 4: (2 điểm)
Trong đường tròn (O) có bán kính bằng 21 đơn vị, cho 399 điểm bất kì. Chứng minh rằng có vô số hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường tròn (O) và không chứa điểm nào trong 399 điểm đó( Bài này khó hiểu :v)
Câu bất:
(ba,cb,ac)(x,y,z)(z=ac1)(\dfrac{b}{a},\dfrac{c}{b},\dfrac{a}{c}) \rightarrow (x,y,z)(z=\dfrac{a}{c} \leq 1). Khi đó xyz=1xyz=1.Bất đẳng thức cần cm biến đổi lại thành:1(x+1)2+1(y+1)2+4(z+1)232\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(y+1)^2}+\dfrac{4}{(z+1)^2} \geq \dfrac{3}{2}
Áp dụng bổ đề:1(x+1)2+1(1+y)21xy+1\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \geq \dfrac{1}{xy+1} muốn chứng minh chuyển vế quy đồng sẽ ra điều hiển nhiên.
Áp dụng dpcm 1xy+1+4(z+1)232zz+1+4(z+1)2320(1z)(z+5)2(z+1)20\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{4}{(z+1)^2} \geq \dfrac{3}{2} \\\Leftrightarrow \dfrac{z}{z+1}+\dfrac{4}{(z+1)^2} -\dfrac{3}{2} \geq 0 \\\Leftrightarrow \dfrac{(1-z)(z+5)}{2(z+1)^2} \geq 0.
Điều này hiển nhiên đúng. Dấu bằng khi x=y=z=1x=y=z=1.
 
  • Like
Reactions: TT is my love
Top Bottom