Toán Đề thi THPT chuyên Phan Bội Châu

[TT is my love]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: (7 điểm)
a) Giải phương trình: $$3x+7\sqrt{x-4}=14\sqrt{x+4}-20$$
b)Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} 6x+4y+2=(x+1)^{2} & \\ 6y+4x-2=(y-1)^{2}& \end{matrix}\right.$$
Câu 2: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
$$S(n)=n^{2}-2017n+10$$ với S(n) là tổng các chữ số của n
Câu 3: (2 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $$c\geq a$$. Chứng minh rằng:
$$(\frac{a}{a+b})^{2}+(\frac{b}{b+c})^{2}+4(\frac{c}{c+a})^{2}\geq \frac{3}{2}$$
Câu 4: (2 điểm)
Trong đường tròn (O) có bán kính bằng 21 đơn vị, cho 399 điểm bất kì. Chứng minh rằng có vô số hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường tròn (O) và không chứa điểm nào trong 399 điểm đó( Bài này khó hiểu :v)

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Câu 2:
$S(n)=n^2-2017n+10=n(n-2017)+10$.
Dễ thấy nếu $n<2017$ thì $S(n)<0$.
$n=2017$ thì $S(n)=10$ thõa mãn.
$n \geq 2018$ thì $S(n)=n^2-2017n+10>n$.
Dễ thấy $n$ lúc này là số có 4 chữ số trở lên nên không tồn tại $S(n)>n$
Vậy $n=2017$
Câu 1a)
Phương trình tương đương:
$3(x-5)+7(\sqrt{x-4}-1)=14(\sqrt{x+4}-3) \\\Leftrightarrow 3(x-5)+\dfrac{7(x-5)}{\sqrt{x-4}+1}=\dfrac{14(x-5)}{\sqrt{x+4}+3}$.
Tới đây xét $x-5=0 \\\Rightarrow x=5$.
Xét $x \neq 5$ thì $3+\dfrac{7}{\sqrt{x-4}+1}=\dfrac{14}{\sqrt{x+4}+3}$.
Dễ thấy $VT<3,VP>3$ với điều kiện của $x$ do đó $x=5$ là nghiệm duy nhất.
Câu 1b)
Trừ 2 vế của phương trình ta sẽ thu được :$2x-2y+4=(x+y)(x-y+2) \Rightarrow (x-y+2)(x+y-2)=0$.
Tới đây dễ rồi.

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Câu 2:
$S(n)=n^2-2017n+10=n(n-2017)+10$.
Dễ thấy nếu $n<2017$ thì $S(n)<0$.
$n=2017$ thì $S(n)=10$ thõa mãn.
$n \geq 2018$ thì $S(n)=n^2-2017n+10>n$.
Dễ thấy $n$ lúc này là số có 4 chữ số trở lên nên không tồn tại $S(n)>n$
Vậy $n=2017$
Câu 1a)
Phương trình tương đương:
$3(x-5)+7(\sqrt{x-4}-1)=14(\sqrt{x+4}-3) \\\Leftrightarrow 3(x-5)+\dfrac{7(x-5)}{\sqrt{x-4}+1}=\dfrac{14(x-5)}{\sqrt{x+4}+3}$.
Tới đây xét $x-5=0 \\\Rightarrow x=5$.
Xét $x \neq 5$ thì $3+\dfrac{7}{\sqrt{x-4}+1}=\dfrac{14}{\sqrt{x+4}+3}$.
Dễ thấy $VT<3,VP>3$ với điều kiện của $x$ do đó $x=5$ là nghiệm duy nhất.
Câu 1b)
Trừ 2 vế của phương trình ta sẽ thu được :$2x-2y+4=(x+y)(x-y+2) \Rightarrow (x-y+2)(x+y-2)=0$.
Tới đây dễ rồi.

có điều câu 1b bác cho em hỏi lm thế nào để phân tích đa thức thành nhân tủ vậy ạ?

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

có điều câu 1b bác cho em hỏi lm thế nào để phân tích đa thức thành nhân tủ vậy ạ?

Nhìn vào mà không thấy nhân tử thì bấm máy tính =)). Hình như fourm từng có 1 topic về vấn đề này.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Câu 1: (7 điểm)
a) Giải phương trình: $$3x+7\sqrt{x-4}=14\sqrt{x+4}-20$$
b)Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} 6x+4y+2=(x+1)^{2} & \\ 6y+4x-2=(y-1)^{2}& \end{matrix}\right.$$
Câu 2: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
$$S(n)=n^{2}-2017n+10$$ với S(n) là tổng các chữ số của n
Câu 3: (2 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $$c\geq a$$. Chứng minh rằng:
$$(\frac{a}{a+b})^{2}+(\frac{b}{b+c})^{2}+4(\frac{c}{c+a})^{2}\geq \frac{3}{2}$$
Câu 4: (2 điểm)
Trong đường tròn (O) có bán kính bằng 21 đơn vị, cho 399 điểm bất kì. Chứng minh rằng có vô số hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường tròn (O) và không chứa điểm nào trong 399 điểm đó( Bài này khó hiểu :v)

Câu bất:
$(\dfrac{b}{a},\dfrac{c}{b},\dfrac{a}{c}) \rightarrow (x,y,z)(z=\dfrac{a}{c} \leq 1)$. Khi đó $xyz=1$.Bất đẳng thức cần cm biến đổi lại thành:$\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(y+1)^2}+\dfrac{4}{(z+1)^2} \geq \dfrac{3}{2}$
Áp dụng bổ đề:$\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \geq \dfrac{1}{xy+1}$ muốn chứng minh chuyển vế quy đồng sẽ ra điều hiển nhiên.
Áp dụng dpcm $\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{4}{(z+1)^2} \geq \dfrac{3}{2} \\\Leftrightarrow \dfrac{z}{z+1}+\dfrac{4}{(z+1)^2} -\dfrac{3}{2} \geq 0 \\\Leftrightarrow \dfrac{(1-z)(z+5)}{2(z+1)^2} \geq 0$.
Điều này hiển nhiên đúng. Dấu bằng khi $x=y=z=1$.