đề thi hsg toán k chuyên lớp 11 năm 2009-2010

[hg201td]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trường G vừa thi hsg ngày 1/4 vừa qua..Thử xem đc mấy điểm nhé..Nhào zô
Câu 1(2,5d)
Giải hệ PT
[TEX]\left{\begin{x^3y(1+y)+x^2y^2(2+y)+xy^3-30=0}\\{x^2y+x(1+y+y^2)+y-11=0} [/TEX]
Câu 2(2.5d)Giải phương trình

[tex]\frac{(2-\sqrt{3})cosx-2sin^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}}{2cosx-1}=1[/tex]
Câu 3(1d)Trong mặt phẳng cho đa giác đều 2n đỉnh A1A2A3...A2n( với n nguyên >1).Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật với các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho
Câu 4(2.5d) Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=[TEX]a\sqrt{2}[/TEX],BC=a,SA=SB=SC=SD=2a.Goij K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là h/c vuông góc của K trên SA
a,Tính Hk theo a(1.5d)
b, Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AK,CD
CMR:BM và MN vuông góc với nhau
Câu 5(1.5d)Cho x,y,z là các số thực dương Tm:x+y+z=1
CMr
[TEX]\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}\leq \frac{27}{8}[/TEX]


6.5 khuyến khích
thử làm nhé
Kt:Hg_201
Liên hệ: Hà Giang 11a1-THPT tam dương 1.Phone:01645.1993.86
Tắt máy 24/24..Hhjhj
Học tốt nhé

 

[ngomaithuy93]

Câu 2(2.5d)Giải phương trình
[tex]\frac{(2-\sqrt{3})cosx-2sin^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}}{2cosx-1}=1[/tex]

[TEX] Pt \Leftrightarrow \frac{(2-\sqrt{3})cosx-1+cos(x-\frac{\pi}{2})}{2cosx-1}=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(2-\sqrt{3})cosx+sinx-1}{2cosx-1}=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow sinx-\sqrt{3}cosx=0[/TEX] với [TEX]cosx\not=\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2sin(x-\frac{\pi}{3})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{3}+k\pi[/TEX]
\Rightarrow Pt vô nghiệm.

Câu 3(1d)

Trong mặt phẳng cho đa giác đều 2n đỉnh A1A2A3...A2n( với n nguyên >1).Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật với các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho

Gọi O là tâm đtròn ngoại tiếp đa giác đều. Qua 2 trong 2n đỉnh đa giác kẻ đc duy nhất 1 đoạn thửng qua O. Vậy qua 2n đỉnh sẽ kẻ đc n đoạn thẳng nt. Cứ 2 đoạn thẳng nt là 2 đường chéo của 1 hcn. Vậy số hcn là: [TEX]C^2_n[/TEX]
Đ/S: [TEX]C^2_n[/TEX]

 

[tiger3323551]

câu hệ phương trình cũng dễ (1)<=>[tex](x+y)(x+xy+y)(xy)-30=0[/tex] (2)<=>[tex]xy(x+y)+xy+(x+y)-11=0[/tex] đăt S P => KẾT QUẢ

 

[ngomaithuy93]

Câu 4(2.5d) Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=[TEX]a\sqrt{2}[/TEX],BC=a,SA=SB=SC=SD=2a.Goij K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là h/c vuông góc của K trên SA
a,Tính Hk theo a(1.5d)
b, Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AK,CD
CMR:BM và MN vuông góc với nhau

* Xét \DeltaABC có SA=SC=2a nên cân tại S.
[TEX]BK \perp AC ; HK \perp SA[/TEX] [TEX]\Rightarrow \left{{BK \perp HK}\\{BK \perp (SAC)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]SK \perp BK hay \Delta SBK[/TEX] và [TEX]\Delta SKA [/TEX]vuông tại K.
Tính đc [TEX]BK=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/TEX] \Rightarrow [TEX]SK= \frac{\sqrt{4a^4-3}}{a\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]AK = \frac{2a}{\sqrt{3}}[/TEX]
Vậy [TEX]HK=\frac{2a\sqrt{4a^4-3}}{\sqrt{20a^4-9}}[/TEX]
Ko biết T sai ở đâu mà số lẻ quá, nhưng đại khái cách của T là nt!

 

[rua_it]

Trường G vừa thi hsg ngày 1/4 vừa qua..Thử xem đc mấy điểm nhé..Nhào zô

Câu 5(1.5d)Cho x,y,z là các số thực dương Tm:x+y+z=1
CMr
[TEX]\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}\leq \frac{27}{8}[/TEX]

Chú ý các phân tích sau: [tex]\prod (1-xy)=xyz.(x+y+z)-x^2y^2z^2-(xy+yz+zx)+1[/tex]

[tex]\sum_{cyclic} (1-xy)(1-yz)=xyz(x+y+z)-2.(xy+yz+zx)+3[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS:=\sum_{cyclic} \frac{1}{1-xy} =\frac{(1-yz)(1-zx)}{\prod (1-xy)}=\frac{xyz(x+y+z)-2.(xy+yz+zx)+3}{xyz.(x+y+z)-x^2y^2z^2-(xy+yz+zx)+1} \leq \frac{27}{8}[/tex]

[tex]\Rightarrow27.(xyz.(x+y+z)-x^2y^2z^2-(xy+yz+zx)+1)=8.[xyz(x+y+z)-2.(xy+yz+zx)+3][/tex]

[tex]\Rightarrow 19.xyz-11(xy+yz+zx)-27x^2y^2z^2+3 \geq 0[/tex]

[tex]Am-Gm \Rightarrow xyz=xyz.(x+y+z) \geq 27.x^2y^2z^2 \Rightarrow19.xyz-11(xy+yz+zx)-27x^2y^2z^2+3 \geq 19xyz-11(xy+yz+zx) -xyz+3 \geq 0(1)[/tex]

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng [tex] z=min(x;y;z) :x+y+z=1 \Rightarrow z \leq \frac{1}{3}[/tex]

Ta viết lại và theo [tex]Ag-Am+(gt) \Rightarrow (1) \Leftrightarrow xy.(18z-11)-11z.(x+y)+3 \geq (\frac{x+y}{2})^2(18z-11)-11z.(1-z)+3 [/tex]

Vậy ta cần chứng minh [tex](\frac{1-z}{2})^2(18z-11)-11z.(1-z)+3 \geq 0(*)[/tex]

Thật vậy, dễ thấy [tex](*) \Leftrightarrow(2z+1).(3z-1)^2 \geq 0[/tex]

Do [tex]z \leq \frac{1}{3} [/tex] nên bất phương trình cuối luôn đúng. Vậy dc dpcm.

Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}[/tex]

 

[hg201td]

* Xét \DeltaABC có SA=SC=2a nên cân tại S.
[TEX]BK \perp AC ; HK \perp SA[/TEX] [TEX]\Rightarrow \left{{BK \perp HK}\\{BK \perp (SAC)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]SK \perp BK hay \Delta SBK[/TEX] và [TEX]\Delta SKA [/TEX]vuông tại K.
Tính đc [TEX]BK=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/TEX] \Rightarrow [TEX]SK= \frac{\sqrt{4a^4-3}}{a\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]AK = \frac{2a}{\sqrt{3}}[/TEX]
Vậy [TEX]HK=\frac{2a\sqrt{4a^4-3}}{\sqrt{20a^4-9}}[/TEX]
Ko biết T sai ở đâu mà số lẻ quá, nhưng đại khái cách của T là nt!

kêts quả là HK=[TEX]a\frac{\sqrt{39}}{6}[/TEX]
Dù sao cũng thank bạn ha...........................................
Tặng bạn @};-@};-@};-@};-@};-

 

[hg201td]

Chú ý các phân tích sau: [tex]\prod (1-xy)=xyz.(x+y+z)-x^2y^2z^2-(xy+yz+zx)+1[/tex]

[tex]\sum_{cyclic} (1-xy)(1-yz)=xyz(x+y+z)-2.(xy+yz+zx)+3[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS:=\sum_{cyclic} \frac{1}{1-xy} =\frac{(1-yz)(1-zx)}{\prod (1-xy)}=\frac{xyz(x+y+z)-2.(xy+yz+zx)+3}{xyz.(x+y+z)-x^2y^2z^2-(xy+yz+zx)+1} \leq \frac{27}{8}[/tex]

[tex]\Rightarrow27.(xyz.(x+y+z)-x^2y^2z^2-(xy+yz+zx)+1)=8.[xyz(x+y+z)-2.(xy+yz+zx)+3][/tex]

[tex]\Rightarrow 19.xyz-11(xy+yz+zx)-27x^2y^2z^2+3 \geq 0[/tex]

[tex]Am-Gm \Rightarrow xyz=xyz.(x+y+z) \geq 27.x^2y^2z^2 \Rightarrow19.xyz-11(xy+yz+zx)-27x^2y^2z^2+3 \geq 19xyz-11(xy+yz+zx) -xyz+3 \geq 0(1)[/tex]

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng [tex] z=min(x;y;z) :x+y+z=1 \Rightarrow z \leq \frac{1}{3}[/tex]

Ta viết lại và theo [tex]Ag-Am+(gt) \Rightarrow (1) \Leftrightarrow xy.(18z-11)-11z.(x+y)+3 \geq (\frac{x+y}{2})^2(18z-11)-11z.(1-z)+3 [/tex]

Vậy ta cần chứng minh [tex](\frac{1-z}{2})^2(18z-11)-11z.(1-z)+3 \geq 0(*)[/tex]

Thật vậy, dễ thấy [tex](*) \Leftrightarrow(2z+1).(3z-1)^2 \geq 0[/tex]

Do [tex]z \leq \frac{1}{3} [/tex] nên bất phương trình cuối luôn đúng. Vậy dc dpcm.

Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}[/tex]

k cần phức tạp nv........THeo mình tách mẫu số ra rùi đặt 1-x=a;1-y=b;1-z=c
Aps dụng B ĐT schawt
Nhiệm vụ CM là -A>= -27/8 thì A<=27/8...Thử xem nhé

 

[hg201td]

Câu 5(1.5d)Cho x,y,z là các số thực dương Tm:x+y+z=1
CMr
[TEX]\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}\leq \frac{27}{8}[/TEX]


[/COLOR][/SIZE]

Từ x+y+z=1 ta đc
[TEX]A=\frac{1}{x+y-xy+z}+\frac{1}{y+z-yz+x}+\frac{1}{x+z-zx+y}[/TEX]
[TEX]A=\frac{1}{(x-1)(1-y)+z-1+2}+\frac{1}{(z-1)(1-x)+y-1+2}+\frac{1}{(y-1)(1-z)+x-1+2}[/TEX]
Đặt 1-x=a,1-y=b,1-z=c
Ta có a+b+c=2
[TEX] - A=\frac{1}{-2+ab+c}+\frac{1}{-2+bc+a}+\frac{1}{-2+ca+b} [/TEX]

ÁP dụng B ĐT schawt
[TEX]A\geq\frac{9}{-4+(ab+bc+ca)}[/TEX]

Ta có [TEX](a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX](ab+bc+ca)\leq\frac{4}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -4+(ab+bc+ca)\leq\frac{4}{3}-4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -A\geq\-frac{27}{8}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A\leq \frac{27}{8}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra <=>a=b=c=2/3=> x=y=z=1/3

 

[quyenuy0241]

Câu 5(1.5d)Cho x,y,z là các số thực dương Tm:x+y+z=1
CMr
[TEX]\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}\leq \frac{27}{8}[/TEX]

Đặt [tex]x=\frac{a}{3},y=\frac{b}{3},z=\frac{c}{3}[/tex]

Vậy cần CM[tex]: \frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ac} \ge \frac{3}{8}[/tex]với a+b+c=3
Đây là bài có trong STBDT của anh Phạm Kim Hùng! Dùng chebyshev!
Hết ẩn dùng luôn x,y,z cho quen [tex]Dat->ab=x,ac=y,bc=z[/tex]
[TEX]\frac{1-x}{9-x}+\frac{1-y}{9-y}+\frac{1-z}{9-z} \ge 0[/TEX]

[TEX]\frac{(1-x)(x+6)}{(9-x)(x+6)}+\frac{(1-y)(y+6)}{(9-y)(y+6)}+\frac{(1-z)(z+6)}{(9-z)(z+6)} \ge 0[/TEX]

[tex]By ---Chebyshev---[/tex]
cho 2 dãy cùng chiều :

[tex](1-x)(x+6),(1-y)(y+6),(1-z)(z+6)[/tex]

[tex]\frac{1}{(9-x)(x+6)},\frac{1}{(9-y)(y+6)},\frac{1}{(9-z)(z+6)},[/tex]

[tex]VT \ge \sum[(1-x)(x+6)].\sum{\frac{1}{(9-x)(x+6)}}[/tex]

Vậy chỉ cần CM:
[tex]\sum[(1-x)(x+6)=18-5(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2) \ge 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 5(ab+bc+ac)+(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) \le 18 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow 5(ab+bc+ac)+(ab+bc+ac)^2 \le 18+6abc(1)[/tex]

Theo CHUR:
[tex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \le 3abc \Leftrightarrow (3-2a)(3-2b)(3-2c) \le abc \Rightarrow3abc \ge 4(ab+bc+ac)-9[/tex] Thế vào (1) suy ra:
[tex]ab+bc+ac \le 3 (DONE!!!!!)[/tex]

 

[vodichhocmai]

Câu 5(1.5d)Cho x,y,z là các số thực dương Tm:x+y+z=1
CMr
[TEX]\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}\leq \frac{27}{8}[/TEX]

[TEX]\sum_{cyclic}\frac{1}{1-xy}\le \frac{3}{1-\frac{xy+yz+zx}{3}}...........[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Từ x+y+z=1 ta đc
[TEX]A=\frac{1}{x+y-xy+z}+\frac{1}{y+z-yz+x}+\frac{1}{x+z-zx+y}[/TEX]
[TEX]A=\frac{1}{(x-1)(1-y)+z-1+2}+\frac{1}{(z-1)(1-x)+y-1+2}+\frac{1}{(y-1)(1-z)+x-1+2}[/TEX]
Đặt 1-x=a,1-y=b,1-z=c
Ta có a+b+c=2
[TEX] - A=\frac{1}{-2+ab+c}+\frac{1}{-2+bc+a}+\frac{1}{-2+ca+b} [/TEX]

ÁP dụng B ĐT schawt
[TEX]A\geq\frac{9}{-4+(ab+bc+ca)}[/TEX]

Ta có [TEX](a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX](ab+bc+ca)\leq\frac{4}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -4+(ab+bc+ca)\leq\frac{4}{3}-4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -A\geq\frac{27}{8}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A\leq- \frac{27}{8}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra <=>a=b=c=2/3=> x=y=z=1/3

ư

bài này sai ! Không dùng được Schwartz. [tex] -A [/tex] âm................................

 

[hg201td]

ư

bài này sai ! Không dùng được Schwartz. [tex] -A [/tex] âm................................

A âm thì -A sẽ dương..Nhưng cũng có lẽ các số dùng schawt là âm..hjz..sai rùi sao
Thank vodichhocmai nhé!