Toán Đề thi HSG Toán 9 TPHCM 2016 - 2017

[iceghost]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP THÀNH PHỐ
KHÓA THI NGÀY 20/3/2017
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)​

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)​

Bài 1. (3 điểm)

Cho ba số $a,b,c$ thỏa các điều kiện: $a-b = 7 , b - c = 3$.
Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2-c^2-2ab+2bc}$.​

Bài 2. (3 điểm)

Giải phương trình: $(2x-1)\sqrt{x+3} = x^2 + 3$​

Bài 3. (3 điểm)

Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} x(y-1) + y(x+1) = 6 \\ (x-1)(y+1) = 1 \end{array} \right.$​

Bài 4. (4 điểm)

1. Cho 2 số thực dương $x,y$ thỏa điều kiện $\dfrac{x}{1+x} + \dfrac{2y}{1+y} = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xy^2$

2. Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn phương trình: $(x+y)(x+2y) = x+5$​

Bài 5. (5 điểm)

1. Cho tam giác nhọn $ABC$ có $H$ là trực tâm. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AH$. Đường phân giác trong góc $A$ cắt $MN$ tại $K$. Chứng minh rằng $AK$ vuông góc với $HK$.

2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $AH, AD$ lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác $ABC$ ($H, D \in BC$). Tia $AD$ cắt $(O)$ tại $E$, tia $EH$ cắt $(O)$ tại $F$ và tia $FD$ cắt $(O)$ tại $K$. Chứng minh rằng $AK$ là đường kính của $(O)$.​

Bài 6. (2 điểm)

Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi ?

HẾT​

 

[Ma Long]

Bài 2. (3 điểm)
Giải phương trình: $(2x-1)\sqrt{x+3} = x^2 + 3$
Giải:
DK: [tex]x\geq \frac{1}{2}[/tex]
Ta có:
$(2x-1)\sqrt{x+3} = x^2 + 3$
[tex]\Leftrightarrow -\sqrt{x+3}=x^2+3-2x\sqrt{x+3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x-\sqrt{x+3}=x^2-2x\sqrt{x+3}+x+3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x-\sqrt{x+3}=(x-\sqrt{x+3})^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-\sqrt{x+3}=0\\x-\sqrt{x+3}=1 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-x-3=0\\x^2-3x-2=0 \end{matrix}\right.[/tex]
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\\x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}

\end{matrix}\right.$

Bài 3. (3 điểm)
Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} x(y-1) + y(x+1) = 6 \\ (x-1)(y+1) = 1 \end{array} \right.$
Giải:
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} x(y-1) + y(x+1) = 6 \\ (x-1)(y+1) = 1 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy-x++xy+y=6\\xy+x-y-1=1\end{matrix}\right.$
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}xy=\dfrac{6+x-y}{2}\\ xy=2+y-x\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{6+x-y}{2}=2-x+y[/tex]
[tex]\Rightarrow y-x=\dfrac{2}{3}[/tex]
Thay [tex]y=x+\dfrac{2}{3}[/tex] vào pt (2) ta được
[tex]x(x+\dfrac{2}{3})+x-(x+\dfrac{2}{3})-1=1[/tex]
[tex]\Rightarrow 3x^2+2x-8=0[/tex]
[tex]\begin{matrix} x=\dfrac{4}{3},y=2\\ x=-2,y=\dfrac{-4}{3} \end{matrix}[/tex]

Bài 4. (4 điểm)
1. Cho 2 số thực dương $x,y$ thỏa điều kiện $\dfrac{x}{1+x} + \dfrac{2y}{1+y} = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xy^2$
Giải:
Ta có:
$\dfrac{x}{1+x} + \dfrac{2y}{1+y} = 1$
[tex]\Leftrightarrow x+xy+2y+2xy=1+x+y+xy[/tex]
[tex]\Leftrightarrow y+2xy=1[/tex]
Áp dụng BĐT cosi
[tex]1=y+2xy\geq 2\sqrt{2xy^2}[/tex]
[tex]\Rightarrow xy^2\leq \frac{1}{8}[/tex]
$MinP=\frac{1}{8}$
Dấu = khi $x=y=\frac{1}{2}$



Bài 1. (3 điểm)
Cho ba số $a,b,c$ thỏa các điều kiện: $a-b = 7 , b - c = 3$.
Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2-c^2-2ab+2bc}$.
Giải:
$a-b = 7 , b - c = 3 \Rightarrow a-c=10$.
Ta có:
[tex]P=\dfrac{(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)}{(a-c)((a-b)-(b-c))}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P=\dfrac{7.10+3.(-7)+(-10.-3)}{10(7-3)}[/tex]
[tex]P=\dfrac{79}{40}[/tex]

Bài 6. (2 điểm)
Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi ?
Giải:
Từ giả thiết ngày thứ 2 Nam chơi bóng bàn và ngày thứ 4 Nam chơi bóng đá.
- Còn thứ 3,5,6,7,CN
Do Nam chạy 3 ngày 1 tuần nhưng không bao giờ chạy 2 ngày liên tiếp nên 3 buổi chạy không thể xuất hiện cả 3/4 ngày 5,6,7,CN suy ra thứ 3 Nam phải chạy.
- Bây giờ còn thứ 5,6,7,CN và còn các môn chạy, chay, cầu lông, bơi
Đo Nam ko bao giờ chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi suy ra thứ 5 Năm phải chơi cầu lông
- Bây giờ còn thứ 6,7,CN và các môn, chạy, chạy, bơi
Do Nam ko bao giờ chạy 2 ngày liên tiếp suy ra thứ 6,CN Nam chạy
- Bây giờ còn thứ 7 và môn bơi.

Bài 4. (4 điểm)
2. Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn phương trình: $(x+y)(x+2y) = x+5$
Giải:
$(x+y)(x+2y) = x+5$
[tex]x^2+3xy+2y^2=x+5[/tex]
[tex]x^2+x(3y-1)+2y^2-5=0[/tex]
[tex]\Delta=(3y-1)^2-4(2y^2-5)=y^2-6y+21=(y-3)^2+12[/tex]
Để pt có nghiệm nguyên suy ra $\Delta$ phải là số chính phương
[tex]\Delta=(y-3)^2+12=k^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 12=(k-y+3)(k+y-3)[/tex]
Ta có:
[tex](k+y-3)-(k-y+3)=2(y-3)[/tex] suy ra [tex](k+y-3), (k-y+3)[/tex] phải cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.
$12=2.6=-2.-6$
Giải ra được cặp $(x;y)=(1;1),(-3;1),(-5;5),(-9;5)$ thỏa mãn