Đăng nhập diễn đàn ĐƠN GIẢN chỉ với FB, Gmail, HOCMAI có sẵn

Đề thi HSG Toán 9 TPHCM 2016 - 2017

Thảo luận trong 'Đề thi - Tài liệu lớp 9' bắt đầu bởi iceghost, 20 Tháng ba 2017.

Lượt xem: 1,565

  1. iceghost

    iceghost Mod Toán + tiếng Anh Thành viên BQT TV BQT xuất sắc nhất 2016

    Tham gia ngày:
    20 Tháng chín 2013
    Bài viết:
    1,951
    Đã được thích:
    754
    Điểm thành tích:
    251
    Giới tính:
    Nam
    Ra mắt Fanpage chính thức diễn đàn HOCMAI


    SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
    THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
    KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
    CẤP THÀNH PHỐ
    KHÓA THI NGÀY 20/3/2017
    Môn thi : TOÁN
    Thời gian làm bài : 150 phút

    (Không kể thời gian phát đề)
    ĐỀ THI CHÍNH THỨC
    (Đề thi gồm 01 trang)
    Bài 1. (3 điểm)
    Cho ba số $a,b,c$ thỏa các điều kiện: $a-b = 7 , b - c = 3$.
    Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2-c^2-2ab+2bc}$.

    Bài 2. (3 điểm)
    Giải phương trình: $(2x-1)\sqrt{x+3} = x^2 + 3$

    Bài 3. (3 điểm)

    Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} x(y-1) + y(x+1) = 6 \\ (x-1)(y+1) = 1 \end{array} \right.$

    Bài 4. (4 điểm)

    1. Cho 2 số thực dương $x,y$ thỏa điều kiện $\dfrac{x}{1+x} + \dfrac{2y}{1+y} = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xy^2$

    2. Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn phương trình: $(x+y)(x+2y) = x+5$

    Bài 5. (5 điểm)

    1. Cho tam giác nhọn $ABC$ có $H$ là trực tâm. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AH$. Đường phân giác trong góc $A$ cắt $MN$ tại $K$. Chứng minh rằng $AK$ vuông góc với $HK$.

    2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $AH, AD$ lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác $ABC$ ($H, D \in BC$). Tia $AD$ cắt $(O)$ tại $E$, tia $EH$ cắt $(O)$ tại $F$ và tia $FD$ cắt $(O)$ tại $K$. Chứng minh rằng $AK$ là đường kính của $(O)$.

    Bài 6. (2 điểm)

    Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi ?
    HẾT
     

    HOCMAI tặng 10.000 khóa ôn thi HK 2 các bạn lớp 6, 7, 8 đạt 8,9 điểm

  2. Ma Long

    Ma Long Học sinh chăm học Thành viên

    Tham gia ngày:
    6 Tháng ba 2017
    Bài viết:
    109
    Đã được thích:
    74
    Điểm thành tích:
    71
    Giới tính:
    Nam

    Bài 2. (3 điểm)
    Giải phương trình: $(2x-1)\sqrt{x+3} = x^2 + 3$

    Giải:
    DK: [tex]x\geq \frac{1}{2}[/tex]
    Ta có:
    $(2x-1)\sqrt{x+3} = x^2 + 3$
    [tex]\Leftrightarrow -\sqrt{x+3}=x^2+3-2x\sqrt{x+3}[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow x-\sqrt{x+3}=x^2-2x\sqrt{x+3}+x+3[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow x-\sqrt{x+3}=(x-\sqrt{x+3})^2[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-\sqrt{x+3}=0\\x-\sqrt{x+3}=1 \end{matrix}\right.[/tex]
    [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-x-3=0\\x^2-3x-2=0 \end{matrix}\right.[/tex]
    $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
    x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\\x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}

    \end{matrix}\right.$
     
    iceghost thích bài này.

  3. Ma Long

    Ma Long Học sinh chăm học Thành viên

    Tham gia ngày:
    6 Tháng ba 2017
    Bài viết:
    109
    Đã được thích:
    74
    Điểm thành tích:
    71
    Giới tính:
    Nam

    Bài 3. (3 điểm)
    Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} x(y-1) + y(x+1) = 6 \\ (x-1)(y+1) = 1 \end{array} \right.$
    Giải:
    Ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l} x(y-1) + y(x+1) = 6 \\ (x-1)(y+1) = 1 \end{array} \right.$

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy-x++xy+y=6\\xy+x-y-1=1\end{matrix}\right.$
    [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}xy=\dfrac{6+x-y}{2}\\ xy=2+y-x\end{matrix}\right.[/tex]
    [tex]\Rightarrow \dfrac{6+x-y}{2}=2-x+y[/tex]
    [tex]\Rightarrow y-x=\dfrac{2}{3}[/tex]
    Thay [tex]y=x+\dfrac{2}{3}[/tex] vào pt (2) ta được
    [tex]x(x+\dfrac{2}{3})+x-(x+\dfrac{2}{3})-1=1[/tex]
    [tex]\Rightarrow 3x^2+2x-8=0[/tex]
    [tex]\begin{matrix} x=\dfrac{4}{3},y=2\\ x=-2,y=\dfrac{-4}{3} \end{matrix}[/tex]
     

  4. Ma Long

    Ma Long Học sinh chăm học Thành viên

    Tham gia ngày:
    6 Tháng ba 2017
    Bài viết:
    109
    Đã được thích:
    74
    Điểm thành tích:
    71
    Giới tính:
    Nam

    Bài 4. (4 điểm)
    1. Cho 2 số thực dương $x,y$ thỏa điều kiện $\dfrac{x}{1+x} + \dfrac{2y}{1+y} = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xy^2$
    Giải:
    Ta có:
    $\dfrac{x}{1+x} + \dfrac{2y}{1+y} = 1$
    [tex]\Leftrightarrow x+xy+2y+2xy=1+x+y+xy[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow y+2xy=1[/tex]
    Áp dụng BĐT cosi
    [tex]1=y+2xy\geq 2\sqrt{2xy^2}[/tex]
    [tex]\Rightarrow xy^2\leq \frac{1}{8}[/tex]
    $MinP=\frac{1}{8}$
    Dấu = khi $x=y=\frac{1}{2}$

     

  5. Ma Long

    Ma Long Học sinh chăm học Thành viên

    Tham gia ngày:
    6 Tháng ba 2017
    Bài viết:
    109
    Đã được thích:
    74
    Điểm thành tích:
    71
    Giới tính:
    Nam

    Bài 1. (3 điểm)
    Cho ba số $a,b,c$ thỏa các điều kiện: $a-b = 7 , b - c = 3$.
    Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2-c^2-2ab+2bc}$.
    Giải:
    $a-b = 7 , b - c = 3 \Rightarrow a-c=10$.

    Ta có:
    [tex]P=\dfrac{(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)}{(a-c)((a-b)-(b-c))}[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow P=\dfrac{7.10+3.(-7)+(-10.-3)}{10(7-3)}[/tex]
    [tex]P=\dfrac{79}{40}[/tex]
     

  6. Ma Long

    Ma Long Học sinh chăm học Thành viên

    Tham gia ngày:
    6 Tháng ba 2017
    Bài viết:
    109
    Đã được thích:
    74
    Điểm thành tích:
    71
    Giới tính:
    Nam

    Bài 6. (2 điểm)
    Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi ?
    Giải:
    Từ giả thiết ngày thứ 2 Nam chơi bóng bàn và ngày thứ 4 Nam chơi bóng đá.
    - Còn thứ 3,5,6,7,CN
    Do Nam chạy 3 ngày 1 tuần nhưng không bao giờ chạy 2 ngày liên tiếp nên 3 buổi chạy không thể xuất hiện cả 3/4 ngày 5,6,7,CN suy ra thứ 3 Nam phải chạy.
    - Bây giờ còn thứ 5,6,7,CN và còn các môn chạy, chay, cầu lông, bơi
    Đo Nam ko bao giờ chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi suy ra thứ 5 Năm phải chơi cầu lông
    - Bây giờ còn thứ 6,7,CN và các môn, chạy, chạy, bơi
    Do Nam ko bao giờ chạy 2 ngày liên tiếp suy ra thứ 6,CN Nam chạy
    - Bây giờ còn thứ 7 và môn bơi.
     

  7. Ma Long

    Ma Long Học sinh chăm học Thành viên

    Tham gia ngày:
    6 Tháng ba 2017
    Bài viết:
    109
    Đã được thích:
    74
    Điểm thành tích:
    71
    Giới tính:
    Nam

    Bài 4. (4 điểm)
    2. Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn phương trình: $(x+y)(x+2y) = x+5$
    Giải:
    $(x+y)(x+2y) = x+5$
    [tex]x^2+3xy+2y^2=x+5[/tex]
    [tex]x^2+x(3y-1)+2y^2-5=0[/tex]
    [tex]\Delta=(3y-1)^2-4(2y^2-5)=y^2-6y+21=(y-3)^2+12[/tex]
    Để pt có nghiệm nguyên suy ra $\Delta$ phải là số chính phương

    [tex]\Delta=(y-3)^2+12=k^2[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow 12=(k-y+3)(k+y-3)[/tex]
    Ta có:
    [tex](k+y-3)-(k-y+3)=2(y-3)[/tex] suy ra [tex](k+y-3), (k-y+3)[/tex] phải cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.
    $12=2.6=-2.-6$
    Giải ra được cặp $(x;y)=(1;1),(-3;1),(-5;5),(-9;5)$ thỏa mãn
     

CHIA SẺ TRANG NÀY