a) Gọi [imath]J[/imath] là giao điểm khác [imath]A[/imath] của [imath](ABC)[/imath] và [imath]AI[/imath], [imath]E[/imath] là giao điểm của [imath]DP[/imath] với [imath](BIC)[/imath]. Khi đó vì [imath]AI[/imath] là phân giác của [imath]\widehat{BAC}[/imath] nên [imath]JB=JC[/imath].
Mặt khác, [imath]\widehat{JIB}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}=\widehat{JBC}+\widehat{IBC}=\widehat{JBI}[/imath] nên [imath]JB=JI[/imath]
[imath]\Rightarrow J[/imath] là tâm của [imath](BIC)[/imath]
Gọi [imath]I'[/imath] là giao điểm khác [imath]I[/imath] của [imath]AI[/imath] với [imath](BIC)[/imath].
Khi đó [imath]\Delta ABI \sim \Delta AI'C \Rightarrow AB \cdot AC=AI \cdot AI'=AP \cdot AQ[/imath]
Mặt khác, [imath]\Delta ABD \sim \Delta AJC \Rightarrow AB \cdot AC=AD \cdot AJ[/imath]
[imath]\Rightarrow AD \cdot AJ=AP \cdot AQ[/imath] hay [imath]PQJD[/imath] nội tiếp
[imath]\Rightarrow \widehat{JDE}=\widehat{ADP}=\widehat{PQJ}=\widehat{QPJ}=\widehat{QDJ}[/imath]
[imath]\Rightarrow DJ[/imath] là phân giác của [imath]\widehat{QDE}[/imath]
Mà [imath]JQ=JE[/imath] nên [imath]DQ=DE[/imath].
[imath]\Rightarrow DP \cdot DQ=DP \cdot DE=DB \cdot DC[/imath] không đổi.
b) Ta có [imath]NB \cdot NC=NS \cdot NT=NR \cdot ND[/imath]
[imath]\Rightarrow (ND+DB)(NR-RC)=ND \cdot NR[/imath]
[imath]\Rightarrow ND \cdot RC=DB \cdot NR-DB \cdot RC[/imath]
[imath]\Rightarrow ND \cdot RC=DB \cdot NC[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{DB}{DN}=\dfrac{RC}{NC}=\dfrac{BM}{NC}=\dfrac{DB-BM}{DN-NC}=\dfrac{DM}{DC}[/imath]
[imath]\Rightarrow DN \cdot DM=DB \cdot DC=DP \cdot DQ[/imath]
Vì [imath]DM=DP \Rightarrow DN=DQ[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
