Đề thi hsg cấp huyện môn toán các năm trước

[bibinamiukey123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề 1:

Câu 1: a) Chứng minh [TEX] S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + 50^3 [/TEX] chia hết cho 1275 ( tớ làm được câu này rồi. )
b) Tìm x, y dương thỏa mãn : [TEX] x + 9y - 4xy \leq 0 ; x + y - 4 = 0 [/TEX] ( hình như ra được là [TEX] x = 3 ; y = 1[/TEX] nhưng tớ chưa làm ra được, chỉ đoán mò thôi )

Câu 2: Giải phương trình.

[TEX]\sqrt[]{\frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt[]{x - 2}} + \sqrt[]{\frac{x}{2} - \frac{1}{2} - \sqrt[]{x - 2}} = \sqrt[]{2}[/TEX]

Câu 3:
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

[TEX]x^5 - x^4.y - 25x^3.y^2 + 25x^2.y^3 + 144x.y^4 - 144y^5 = 77 [/TEX]

b) tìm giá trị lớn nhất của A = [TEX]\frac{y.\sqrt[]{x-5} + x. \sqrt[]{y - 7}}{2xy}[/TEX]

câu 4: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. P là 1 điểm cố định. P là 1 điểm cố định nằm giữa B và C. Một góc vuông MPN quay xung quanh đỉnh P ( M, N thuộc đường tròn ( O; R ). Gọi I là trung điểm M, N.

a) Chúng minh: [TEX]R^2 = OI^2 + IP^2[/TEX]

b) Tìm quỹ tích của điểm I ( không phải làm phần đảo ) [ quỹ tích là tập hợp điểm I nằm trên 1 đường cố định ]

câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Phân giác AD, trung tuyến BE và đường cao CF cắt nhau tại 1 điểm. Chứng minh r góc [TEX]\{BAC}[/TEX] > 45 độ

 

[bibinamiukey123]

Đề 2:

Câu 1: Chứng minh rằng

a) A = [TEX] 1 + 9^2010 + 77^2010 + 1977^2010 [/TEX] không phải là số chính phương.

b) cho a, b là hai số tự nhiên, nếu [TEX]a^2 + b^2 [/TEX] chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.

Câu 2: a) tìm nghiệm dương của phương trình [TEX]\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} = \sqrt[]{18}[/TEX]

b) tìm k để phương trình có nghiệm: l 4x - l 4x - 1ll = -2.k.k.x

Câu 3: 1) Cho [TEX] p = - 3.x^2 + 10.x + 3.y^2 - 2.y + 2001 [/TEX]

Tính giá trị của P biết: [TEX] x \geq 0 ; y \geq 0[/TEX] và xy = 1 ; l x + yl đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Cho [TEX] x \geq y > 0 [/TEX]. Chứng minh rằng :

[TEX]\frac{x + y}{2} - \sqrt[]{xy} \leq \frac{1}{8}.\frac{(x-y)^2}{y}[/TEX]

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có độ dài các cạnh BC=a , AC = b, AB = c, đường cao AH = h, M là trung điểm BC. Gọi I, E thứ tự là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tam giác AHM, D và F lần lượt là tiếp điểm các đường tròn (I) và (E) trên cạnh BC. Biết c > b.

a) tính MD và tỉ số [TEX]\frac{ME}{MF}[/TEX] theo các cạnh của tam giác ABC

b? chứng minh [TEX] a = \frac{2.r^2}{ h - 2.r}[/TEX] r là bán kính đường tròn tâm I

 

[mua_buon_97]

Đề 2:

b) cho a, b là hai số tự nhiên, nếu [TEX]a^2 + b^2 [/TEX] chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.

2) Cho [TEX] x \geq y > 0 [/TEX]. Chứng minh rằng :

[TEX]\frac{x + y}{2} - \sqrt[]{xy} \leq \frac{1}{8}.\frac{(x-y)^2}{y}[/TEX]

1,http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1752968#post1752968

2,

[TEX]\frac{x+y}{2} -\sqrt{xy}=\frac{ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}[/TEX]

C/m: [TEX]\frac{ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}\leq \frac{1}{8}.\frac{(x-y)^2}{y}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \leq \frac{(x-y)^2}{4}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]0 \leq (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2[/TEX]

 

[rinnegan_97]

mik làm giùm 1 câu

đề 1 câu b, bài 1 nhaz ko bit coa đúng ko ch]s mik thay vào thì thoả mãn:

từ [TEX]x+y-4=0\Rightarrowx=4-y[/TEX]
thay vào [TEX]x+9y-4xy\leq0[/TEX] ta có:

[TEX]4-y+9y-4(4y-y^2)=4y^2-8y+4\leq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow4(y-1)^2\leq0[/TEX] mà [TEX]4(y-1)^2\geq0[/TEX] nên [TEX]4(y-1)^2=0[/TEX]
\Rightarrow y=1 và x=3

 

[braga]

Đề 1:

Câu 1: a) Chứng minh [TEX] S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + 50^3 [/TEX] chia hết cho 1275 ( tớ làm được câu này rồi. )
b) Tìm x, y dương thỏa mãn : [TEX]x + 9y - 4xy \leq 0 ; x + y - 4 = 0[/tex] ( hình như ra được là x = 3 ; y = 4 nhưng tớ chưa làm ra được, chỉ đoán mò thôi )

a,Ta có công thức: [TEX]\fbox{1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + n^3=(1+2+3+...+n)^2}[/TEX]

Áp dụng vào bài này, ta được:

[TEX]S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + 50^3=(1+2+3+...+50)^2=(\frac{50.51}{2})^2=1275^2 \vdots 1275 \Rightarrow dpcm[/TEX]

b, Gọi [TEX]x + 9y - 4xy \leq 0[/TEX] là (*)

Từ [TEX]x+y-4=0 \Rightarrow x+y=4[/TEX] mà x,y dương [TEX]\Rightarrow 1 \leq x,y \leq 4[/TEX]

Ta có: [TEX]4=1+3=3+1=2+2[/TEX], đến đây, ta xét:

_ [TEX]x=1;y=3[/TEX] thế vào (*) được [TEX]1+9.3-4.1.3=16[/TEX] (loại)

_ [TEX]x=3;y=1[/TEX] thế vào (*) được [TEX]3+9.1-4.3.1=0[/TEX] (nhận)

_ [TEX]x=2;y=2[/TEX] thế vào (*) được [TEX]2+9.2-4.2.2=4[/TEX] (loại)

Vậy [TEX]\fbox{x=3;y=1}[/TEX] là kết quả của bài toán

 

[mimibili]

Đề 1:

Câu 1: a) Chứng minh [TEX] S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + 50^3 [/TEX] chia hết cho 1275 ( tớ làm được câu này rồi. )

b) tìm giá trị lớn nhất của A = [TEX]\frac{y.\sqrt[]{x-5} + x. \sqrt[]{y - 7}}{2xy}[/TEX]

Câu 1 mình nghĩ nên sử dụng những bđt thường gặp baraga à!
nếu không sẽ phải c/m
Câu 1a) nên ghép từng cặp rồi áp dụng bđt [tex] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]
là c/m đc chia hết cho 25 và 51
b) rút gọn được: [tex] \frac{sqrt{x-5}}{x}+\frac{y-5}{y}[/tex] x\geq5;y\geq7
đến đây áp dụng bđt Cô si cho cặp số nguyên dương [tex] sqrt{5}; sqrt{x-5}[/tex] và tiếp tục áp dụng cho cặp số [tex] sqrt{7} ; sqrt{x-7}[/tex]
~~> kq
p/s mình hơi bị nhác gõ latex

 

[rinnegan_97]

thêm câu nữa

câu 1, phần b, đề 2:

do [TEX]a^2[/TEX]và [TEX]b^2[/TEX] là số chính phương nên chia cho 3 chỉ dư là 0 hoặc 1, ta xét các trường hợp coa số dư là 0+0, 0+1, 1+1 thì chỉ coa 0+0 chia hết cho 3 nên a, b cũng chia hết cho 3

 

[nerversaynever]

đề 1
[TEX]\begin{array}{l}2.)dk:x \ge 2\\\sqrt {\frac{1}{2}\left( {x - 2 + 2\sqrt {x - 2} + 1} \right)} \sqrt {\frac{1}{2}\left( {x - 2 - 2\sqrt {x - 2} + 1} \right)} = \sqrt 2 \\\left| {\sqrt {x - 2} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 2} - 1} \right| = \left( {1 - \sqrt {x - 2} } \right) + \left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt {x - 2} \ge 0\\\sqrt {x - 2} + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 3 \Rightarrow 2 \le x \le 3\end{array}[/TEX]
[TEX]\begin{array}{l}3.{x^4}\left( {x - y} \right) - 25{x^2}{y^2}\left( {x - y} \right) + 144{y^4}\left( {x - y} \right) = 77\\\left( {x - y} \right)\left( {x - 4y} \right)\left( {x + 4y} \right)\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right) = 77\end{array}[/TEX]
dễ thấy x lẻ y chẵn và y khác 0 do đó các thừa số bên trai khác nhau
tuy nhiên 77 chỉ có thể phân tích thành tối đa tích của 4 số khác nhau do đó pt vô nghiệm nguyên
đề 2
1/
[TEX]1 + {9^{2010}} + {77^{2010}} + {1977^{2010}} \equiv 1 + 0 + {\left( { - 1} \right)^{2010}} + 0 \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)[/TEX] do đó ko là số cp
b) giả sử [TEX]{a^2} + {b^2} \vdots 3[/TEX] mà a và b đều không chia hết cho 3, khi đó xét các trường hợp a,b=3k+1;3k+2 đều cho [TEX]{a^2} + {b^2} \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)[/TEX] suy ra vô lý
câu 2 giả sử x>=y suy ra y<=4
[TEX]\begin{array}{l} \sqrt x + \sqrt y = \sqrt {18} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {18} - \sqrt y \\\Leftrightarrow x = 18 + y - 2\sqrt {18y} \end{array}[/TEX]
do đó 18y là số chính phương hay 2y là số chính phương mà 0<y<=4 nên y=2
KL (x;y)=(2;8);(8;2)

 

[nerversaynever]

3.a)
[TEX]{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy = 4 \Rightarrow x = y = 1 \Rightarrow P = 2009[/TEX]
4)
[TEX]\begin{array}{l}CD = r/\tan \frac{C}{2} = p - c = \frac{1}{2}\left( {a + b - c} \right)\\MD = \frac{a}{2} - CD = \frac{1}{2}\left( {c - b} \right)\\\frac{{MF}}{{ME}} = c{\rm{os}}\frac{{AMH}}{2} = \cos B = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{{ME}}{{MF}} = \frac{a}{c}\\b)A = {90^0} \Rightarrow r = \left( {p - a} \right)\tan \frac{A}{2} = p - a \Leftrightarrow 2pr - 2ar = 2{r^2} \Leftrightarrow 2s - 2ar = 2{r^2} \Leftrightarrow a = \frac{{2{r^2}}}{{h - 2r}}\end{array}[/TEX]