Đề thi học sinh giỏi trường mình nè!!! Trường THCS Việt Hưng!!! Các pro nào chữa giúp mình với!!!

A

audungpro

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 (5 điểm):
a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: [tex]{({x}^{2} + x)}^{2} - 2.({x}^{2} + x) -15[/tex]
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: [tex]({n}^{2} + 3n).({n}^{2} + 3n + 2) +1[/tex] là số chính phương
Bài 2 (4 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:
a. [tex]{\left(\frac{a+b}{2} \right)}^{2}\geq ab[/tex]
b. [tex](a+b+c).(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9[/tex] (a,b,c là các số dương)
Bài 3: (3 điểm): Cho [tex]{a}^{3} + {b}^{3} + {c}^{3} = 3abc[/tex] (a,b,c \neq 0). Tính giá trị biểu thức:
[tex]Q = (1+ \frac{a}{b}).(1+ \frac{b}{c}).(1+ \frac{c}{a})[/tex]
Bài 4: (4 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi P là trung điểm cạnh AB và Q, M, N thứ tự thuộc cạnh AD, DC và CB sao cho PQMN là hình thang với hai đáy PN, QM.
a. Chứng minh: [tex]\triangle BPN[/tex] đồng dạng với [tex]\triangle DMQ[/tex]
b. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình thang PMNQ khi NB[tex]=\frac{a}{3}[/tex]
Bài 5: (4 điểm): Cho [tex]\triangle ABC[/tex], trung tuyến AM. Qua trọng tâm G của [tex]\triangle ABC[/tex], kẻ đường thẳng d căt AB, AC thứ tự tại P và Q. Chứng minh rằng: [tex]\frac{AB}{AP} + \frac{AC}{AQ}[/tex] không phụ thuộc vào vị trí của d.
 
Last edited by a moderator:
K

kool_boy_98

Câu 2a) Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số ta có:

$\frac{a+b}{2}$ \geq $\sqrt{ab}$

\Rightarrow $(\frac{a+b}{2})^2$ \geq $(\sqrt{ab})^2=ab (dpcm)$

Dấu bằng sáy ra \Leftrightarrow a=b
b) Câu này có thể áp dụng cả BDT Cauchy hoặc BDT Bunhicopxky:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky với $a , b ,c >0$ ta được :

$9 = [\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}} + \sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}} ]^2$ \leq $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
\Rightarrow $dpcm$
dấu = sảy ra \Leftrightarrow $a=b=c $
 
S

star_music

audungpro said:
Bài 1 (5 điểm):
a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: [tex]{({x}^{2} + x)}^{2} - 2.({x}^{2} + x) -15[/tex]
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: [tex]({n}^{2} + 3n).({n}^{2} + 3n + 2) +1[/tex] là số chính phương
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bà1 1:(tớ chém gió thui)
a. Đặt [TEX]x^2+x=a[/TEX]
Phương trình trở thành:[TEX] a^2-2a-15=(a+3)(a-5)[/TEX]
b.Đặt: [TEX]n^2+3n+1=m[/TEX]
Ta sẽ có: [TEX](m+1)(m-1)+1=m^2-1+1=m^2[/TEX] là số chính phương nên ta có điều phải CM
 
Last edited by a moderator:
S

star_music

audungpro said:
Bài 1 (5 điểm):
a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: [tex]{({x}^{2} + x)}^{2} - 2.({x}^{2} + x) -15[/tex]
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: [tex]({n}^{2} + 3n).({n}^{2} + 3n + 2) +1[/tex] là số chính phương
Bài 2 (4 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:
a. [tex]{\left(\frac{a+b}{2} \right)}^{2}\geq ab[/tex]
b. [tex](a+b+c).(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9[tex] (a,b,c là các số dương) Bài 3: (3 điểm): Cho [tex]{a}^{3} + {b}^{3} + {c}^{3} = 3abc[/tex] (a,b,c \neq 0). Tính giá trị biểu thức:
[tex]Q = (1+ \frac{a}{b}).(1+ \frac{b}{c}).(1+ \frac{c}{a})[/tex]
Bài 4: (4 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi P là trung điểm cạnh AB và Q, M, N thứ tự thuộc cạnh AD, DC và CB sao cho PQMN là hình thang với hai đáy PN, QM.
a. Chứng minh: [tex]\triangle BPN[/tex] đồng dạng với [tex]\triangle DMQ[/tex]
b. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình thang PMNQ khi NB[tex]=\frac{a}{3}[/tex]
Bài 5: (4 điểm): Cho [tex]\triangle ABC[/tex], trung tuyến AM. Qua trọng tâm G của [tex]\triangle ABC[/tex], kẻ đường thẳng d căt AB, AC thứ tự tại P và Q. Chứng minh rằng: [tex]\frac{AB}{AP} + \frac{AC}{AQ}[/tex] không phụ thuộc vào vị trí của d.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài 3:
Viết Q dưới dạng sau:
[TEX]Q=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}[/TEX]
Từ giả thiết:[TEX]a^3+b^3+c^3=3abc \Rightarrow a+b+c=0 or a=b=c [/TEX] (cái ny tự cm nhá) ko bit có lấy gt a+b+c=0 không vì đề ghi a,b,c / neq 0 là cái j
[TEX]\Rightarrow a+b=-c; b+c=-a ; c+a=-b[/TEX] thay vào ok :D còn trường hợp a=b=c tiếp tục thay vào
 
Last edited by a moderator:
A

audungpro

Còn pạn nào bít làm bài 5 không??? Bài ý khó quá ak
 
Last edited by a moderator:
A

audungpro

Tớ chỉ thấy đại số dễ thui. Hình bài 4 b khó lắm!!!
 
Last edited by a moderator:
A

aitruc874

đặt $x^2+x$ là $a$
ta có: $a^2-2a+1-16=(a-1)^2-16=(a-1-4)(a-1+4)=(a+3)(a-5)$

bài 2:
$((a-b)/2)^2>ab$
$a^2+2ab+b^2>4ab$
$(a-b)^2>0$
đpcm

bài 2b
$(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1=3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b$
ta có : $a/b+b/c>_2 vì a/b+b/a-2=a^2+b^2+2ab>_0.ab$
nên biểu thức trên bằng:
$3+2+2+2>_9$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom