Đề thi học sinh giỏi cấp trường...

G

greentuananh

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:(6 điểm):
Cho biểu thức: [TEX]A=\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}[/TEX]
a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2:(4 điểm):
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX]
b) Chứng minh rằng:
[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX] chia hết cho 384
Với mọi x là số chẵn và [TEX]x>4[/TEX].

Bài 3:(4 điểm):
a) Giải các phương trình:
[TEX]\frac{1}{4x-2008}+\frac{1}{5x+2010}=\frac{1}{15x-2009}-\frac{1}{6x-2011}[/TEX]
b) Cho 3 số a,b,c thoả mãn: [TEX]a+b+c=2009[/TEX] và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2009}[/TEX]
Chứng minh rằng trong 3 số phải có một số bằng 2009.

Bài 4:(3 điểm):
Cho tam giác ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho DB=CE. Nối D với E cắt BC tại F. Chứng minh rằng: F là trung điểm của DE.

Bài 5:(2 điểm):
Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Qua O kể các đường thẳng AO,BO,CO cắt các cạnh BC,AC,AB lần lượt tại các điểm A',B',C'. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{AC'}{BC'}.\frac{BA'}{CA'}.\frac{CB'}{AB'}=1[/TEX]

Bài 6:(1 điểm):
Cho a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

Tui thi xong rồi, post lên cho mọi người xem này.
Đề này cũng dễ, tui làm gần xong rồi, chỉ còn bài 6: thôi, mọi người làm giúp nha...
 
L

leminhhieu148

Về cơ bản thì tất cả các bài đều dễ (trừ bài 6 ra=(()
còn bài 1c thì khi phân tích ra ta thấy đc rằng để A Max thì cái mẫu phải min
nhưng khi mình pt ra thì thấy rằng cái đó min = -2,25
mà mẫu đó luôn lớn hơn hoặc =0
Mình ko tìm ra cách khác đc
Ai giúp tui với
 
C

cuncon2395

greentuananh said:
Bài 1:(6 điểm):
Cho biểu thức: [TEX]A=\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}[/TEX]
a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2:(4 điểm):
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX]
b) Chứng minh rằng:
[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX] chia hết cho 384
Với mọi x là số chẵn và [TEX]x>4[/TEX].

Bài 3:(4 điểm):
a) Giải các phương trình:
[TEX]\frac{1}{4x-2008}+\frac{1}{5x+2010}=\frac{1}{15x-2009}-\frac{1}{6x-2011}[/TEX]
b) Cho 3 số a,b,c thoả mãn: [TEX]a+b+c=2009[/TEX] và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2009}[/TEX]
Chứng minh rằng trong 3 số phải có một số bằng 2009.

Bài 4:(3 điểm):
Cho tam giác ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho DB=CE. Nối D với E cắt BC tại F. Chứng minh rằng: F là trung điểm của DE.

Bài 5:(2 điểm):
Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Qua O kể các đường thẳng AO,BO,CO cắt các cạnh BC,AC,AB lần lượt tại các điểm A',B',C'. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{AC'}{BC'}.\frac{BA'}{CA'}.\frac{CB'}{AB'}=1[/TEX]

Bài 6:(1 điểm):
Cho a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

Tui thi xong rồi, post lên cho mọi người xem này.
Đề này cũng dễ, tui làm gần xong rồi, chỉ còn bài 6: thôi, mọi người làm giúp nha...
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

con a, bài 2 dễ trước :p
[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX]
[TEX]=x^3(x-4)-4x(x-4)[/TEX]
[TEX]=(x-4)(x^3-4x)[/TEX]
[TEX]=(x-4)x(x^2-4)[/TEX]
[TEX]=(x-4)x(x-2)(x+2)[/TEX]

bài 1,
a, ĐKXĐ : x#-1 ;-2;-3;-4
b, [TEX]A=\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}[/TEX]

[TEX]A=\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{(x+3)(x+4)+(x+1)(x+4)+(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{x^2+7x+12+x^2+5x+4+x^2+3x+2}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{3x^2+15x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{3(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{3}{(x+1)(x+4)}=\frac{3}{x^2+5x+4}[/TEX]

c, [TEX]A=\frac{3}{x^2+5x+4}[/TEX]
tách: [TEX]x^2+5x+4=(x^2+2x.\frac{5}{2}+\frac{25}{4})-\frac{9}{4}=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4} \geq\frac{-9}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{1}{x^2+5x+4}\leq\frac{-4}{9} \Rightarrow \frac{3}{x^2+5x+4}\leq \frac{-4}{3}[/TEX]
[TEX]A=\frac{-4}{3}\Leftrightarrow x+\frac{5}{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{-5}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]max A =\frac{-4}{3} khi x= \frac{-5}{2}[/TEX]
 
L

leminhhieu148

Bài 1 a và b khá dễ

Bài 1:
[TEX]A=\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}[/TEX]
\ [TEX]\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4}[/TEX]
a)ĐKXĐ:x#{-4,-3,-2,-1}
b)\ [TEX]\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4}[/TEX]
<=>[TEX]\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}[/TEX]
<=>[TEX]\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}[/TEX]
<=>[TEX]\frac{3}{x^2+5x+4}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
G

greentuananh

sai rồi...

leminhhieu148 said:
Bài 1:
[TEX]A=\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}[/TEX]
\ [TEX]\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4}[/TEX]
a)ĐKXĐ:x#{-4,-3,-2,-1}
b)\ [TEX]\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4}[/TEX]
<=>[TEX]\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}[/TEX]
<=>[TEX]\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}[/TEX]
<=>[TEX]\frac{1}{x^2+5x+4}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}=\frac{3}{x^2+5x+4}[/TEX]
...
 
L

leminhhieu148

Bài 2:
a)[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX]
<=>[TEX]x(x^3-4x^2-4x+16[/TEX]
<=>[TEX]x(x-2)(x^2+2x-8)[/TEX]
<=>[TEX]x(x-2)(x-4)(x+2)[/TEX]

câu b mình ko xét tính chẵn lẻ nên ko bít có đúng ko??????????????
b)ta có : 384 = 2.4.6.8
mà x(x+2)(x-2)(x-4) là 4 số chẵn (hoặ lẻ )liên tiếp=>chia hết cho 2 cho 4 cho 6 cho 8
=> chia hết cho 384
còn các bạn thử xét với x = 2n và x = 2n+1 xem
 
L

leminhhieu148

3b nè

Ta có:
[TEX]a+b+c = 2009[/TEX]
[TEX]<=>a+b = 2009-c[/TEX]

Ta có:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{2009}[/TEX]

[TEX]<=>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2009}-\frac{1}{c}[/TEX]

[TEX]<=>\frac{a+b}{ab} = \frac{c-2009}{2009c}[/TEX]

[TEX]<=>\frac{a+b}{ab}+\frac{2009-c}{2009c}=0[/TEX]

Mà [TEX]a+b=2009-c[/TEX]

[TEX]=>\frac{a+b}{ab}+\frac{2009-c}{2009c}=0[/TEX]

[TEX]<=>\frac{2009-c}{ab}+\frac{2009-c}{2009c}=0[/TEX]

[TEX]<=>(2009-c)\frac{1}{ab}+\frac{1}{2009-c}=0[/TEX]

[TEX]<=>2009-c = 0 <=>c=2009[/TEX](dpcm)
 
Last edited by a moderator:
L

leminhhieu148

cuncon2395 said:
con a, bài 2 dễ trước :p
[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX]
[TEX]=x^3(x-4)-4x(x-4)[/TEX]
[TEX]=(x-4)(x^3-4x)[/TEX]
[TEX]=(x-4)x(x^2-4)[/TEX]
[TEX]=(x-4)x(x-2)(x+2)[/TEX]

bài 1,
a, ĐKXĐ : x#-1 ;-2;-3;-4
b, [TEX]A=\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}[/TEX]

[TEX]A=\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{(x+3)(x+4)+(x+1)(x+4)+(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{x^2+7x+12+x^2+5x+4+x^2+3x+2}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{3x^2+15x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{3(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]

[TEX]A=\frac{3}{(x+1)(x+4)}=\frac{3}{x^2+5x+4}[/TEX]

c, [TEX]A=\frac{3}{x^2+5x+4}[/TEX]
tách: [TEX]x^2+5x+4=(x^2+2x.\frac{5}{2}+\frac{25}{4})-\frac{9}{4}=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4} \geq\frac{-9}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{1}{x^2+5x+4}\leq\frac{-4}{9} \Rightarrow \frac{3}{x^2+5x+4}\leq \frac{-4}{3}[/TEX]
[TEX]A=\frac{-4}{3}\Leftrightarrow x+\frac{5}{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{-5}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]max A =\frac{-4}{3} khi x= \frac{-5}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài của cún làm dài quá
Câu b) nếu làm theo cách của mình sẽ nhanh hơn
Câu c) mình cũng làm như thế và kết quả là ...sai:(
 
G

greentuananh

Bài 5 đúng là chỉ cần dựa trên định lí Xê-va.
Còn bài 6 có ai làm được không...
 
B

brandnewworld

cuncon2395 said:
bài 1,
a, ĐKXĐ : x#-1 ;-2;-3;-4
b, [TEX]A=\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}[/TEX]
[TEX]A=\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}[/TEX]
[TEX]A=\frac{(x+3)(x+4)+(x+1)(x+4)+(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]
[TEX]A=\frac{x^2+7x+12+x^2+5x+4+x^2+3x+2}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]
[TEX]A=\frac{3x^2+15x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]
[TEX]A=\frac{3(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}[/TEX]
[TEX]A=\frac{3}{(x+1)(x+4)}=\frac{3}{x^2+5x+4}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cún làm câu này dài quá: xem mình nè:
[TEX]A=\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}[/TEX]
[TEX]= \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}=\frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)}=\frac{3}{(x+1)(x+4)}[/TEX]
 
Q

quynhanh94

greentuananh said:
Bài 1:(6 điểm):
Cho biểu thức: [TEX]A=\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}[/TEX]
a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2:(4 điểm):
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX]
b) Chứng minh rằng:
[TEX]x^4-4x^3-4x^2+16x[/TEX] chia hết cho 384
Với mọi x là số chẵn và [TEX]x>4[/TEX].

Bài 3:(4 điểm):
a) Giải các phương trình:
[TEX]\frac{1}{4x-2008}+\frac{1}{5x+2010}=\frac{1}{15x-2009}-\frac{1}{6x-2011}[/TEX]
b) Cho 3 số a,b,c thoả mãn: [TEX]a+b+c=2009[/TEX] và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2009}[/TEX]
Chứng minh rằng trong 3 số phải có một số bằng 2009.

Bài 4:(3 điểm):
Cho tam giác ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho DB=CE. Nối D với E cắt BC tại F. Chứng minh rằng: F là trung điểm của DE.

Bài 5:(2 điểm):
Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Qua O kể các đường thẳng AO,BO,CO cắt các cạnh BC,AC,AB lần lượt tại các điểm A',B',C'. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{AC'}{BC'}.\frac{BA'}{CA'}.\frac{CB'}{AB'}=1[/TEX]

Bài 6:(1 điểm):
Cho a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

Tui thi xong rồi, post lên cho mọi người xem này.
Đề này cũng dễ, tui làm gần xong rồi, chỉ còn bài 6: thôi, mọi người làm giúp nha...
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài 6 sử dụng Côsi ngược là ok :D

Có: [TEX]\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2} \geq a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/TEX]

tương tự rùi cộng vào là xong mà :p :D
 
B

brandnewworld

Bài này dùng phản chứng có thể ra đó, tớ thử rồi, tối post lên cho mọi người xem
 
F

fantastic4

Bài 6 ai làm được rồi giúp em cái, khó quá. Mà không biết có sai đề không?　
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom