Đề thi chọn đội tuyển 2012.

[songtoan183@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 2: Cho dãy số [TEX](U_n)[/TEX] xác định như sau: [tex]\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_n+_1=\frac{u^2_n+2010u_n}{2011} n = 1,2... \end{array} \right.[/tex]
a) CMR dãy [TEX](u_n)[/TEX] tăng và không bị chặn trên.
b) Thiết lập dãy [TEX]{S_n}[/TEX] với [TEX]S_n=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{u_i}{u_i+_1-1}[/TEX] . Tìm [TEX]limS_n[/TEX].
Câu 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: [TEX]x^3+y^3=3xy+3[/TEX]
Câu 4. Cho hai đường tròn [TEX](C_1),(C_2)[/TEX] lần lượt có tâm [TEX]O_1[/TEX] và [TEX]O_2[/TEX] cắt nhau tại A,B; P là điểm nằm trên đường thẳng AB. Từ P kẻ hai tiếp tuyến PC,PD lần lượt tới [TEX](C_1),(C_2)[/TEX] (C,D là tiếp điểm). Vẽ tiếp tuyến chung EF của hai đường tròn [TEX](C_1),(C_2) [/TEX] với E thuộc [TEX](C_1)[/TEX] và F thuộc [TEX](C_2)[/TEX]. Chứng minh rằng AB,CE,DF đồng quy.
Câu 5: Tại mỗi đỉnh của một đa giác đều 100 cạnh ta đánh một số bất kì trong các số tự nhiên 1,2,...,49. Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh của đa giác (Kí hiệu A,B,C,D với các số được đánh tương ứng là a,b,c,d) sao cho ABCD là hình chữ nhật và a+b=c+d.

 

[654321sss]

Câu 2: Từ giả thiết suy ra $2010(u_{n+1}-u_n)=u_n(u_n-1)$ suy ra $\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n(u_n-1)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{2010(u_{n+1}-u_n)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=2010(\frac{1}{u_n-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1})$

tới đây thì dễ rồi ha :")

 

[soccan]

Problem 3:
$ x^3+y^3=3xy+3\\
\Longleftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=3xy+3$
Let $x+y=p; xy=t (p;t \in Z)$. We have
$p^3-3pt=3t+3 \Longleftrightarrow p^3-3=3t(p+1)$ therefore $(p^3-3) \vdots (p+1)$
$\Longleftrightarrow (p^3+1-4) \vdots (p+1)$
$\Longleftrightarrow 4 \vdots (p+1)$ consider the divisors, try and pick
$\Longrightarrow (x;y)=(1;-1);(1;2)$ and permutations