Đề chuyên

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho x, y là các số thực thỏa mãn [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]. Tìm GTLN của biểu thức
P=[TEX]\frac{x}{y+\sqrt[2]{2}}[/TEX]
2) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Chứng minh
[TEX] \sqrt[2]{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt[2]{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt[2]{\frac{ac+2b^2}{1+ca-b^2}}\geq2+ab+bc+ca [/TEX]
3) Cho x, y là các số thực. Tìm GTNN của biểu thức
T=[TEX]x^2+2y^2-2xy+10x-16y+2048[/TEX]

 

[lp_qt]

3. Cho x, y là các số thực. Tìm GTNN của biểu thức $T=x^2+2y^2-2xy+10x-16y+2048$

$T=x^2+2y^2-2xy+10x-16y+2048=(x^2-2xy+10x-10y+y^2+25)+(y^2-6y+9)+2014$

$=(x-y+5)^2+(y-3)^2+2014 \ge 2014$ khi $\left\{\begin{matrix}x-y+5=0 & \\ y-3=0 &
\end{matrix}\right.$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Quy đồng lên ta được $yP-x=\sqrt{2}P$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $yP-x\le \sqrt{(x^2+y^2)(P^2+1)}$
Do đó $2P^2\le P^2+1$ hay $|P|\le 1$
Bài 2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(1+ab-c^2)}}\ge \dfrac{2(ab+2c^2)}{1+2ab+c^2}\ge \dfrac{2(ab+2c^2)}{1+a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2$
Tương tự rồi cộng lại cho ta điều phải chứng minh.