đề chuyên 3

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Với 3 số dương x, y, z thỏa [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/TEX].Chứng minh rằng
[TEX] \sqrt[]{x+yz}+\sqrt[]{y+zx}+\sqrt[]{z+xy}\geq\sqrt[]{xyz}+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z}[/TEX]
2) Chứng minh rằng [TEX] 1^3+2^3+3^3+...+n^3 [/TEX] là một số chính phương với mọi n là số nguyên dương
3) Cho biểu thức
A=[TEX] \frac{(\sqrt[]{x^2+4}-2)(x+\sqrt[]{x}+1)(\sqrt[]{x^2+4}+2)\sqrt[]{x-2\sqrt[]{x}+1}}{x(x\sqrt[]{x}-1}[/TEX]
Tìm tất cả các giá trị của x để [TEX]A\geq0[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
Đặt $a=\dfrac{1}{x}, b=\dfrac{1}{y}, c=\dfrac{1}{z}$ thì $a+b+c=1$
Bất đẳng thức trở thành: $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
Ta có $\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{a^2+a(b+c)+bc}\ge \sqrt{a^2+bc+2a\sqrt{bc}}=a+\sqrt{bc}$
Thiết lập tương tự và cộng lại cho ta điều phải chứng minh.
Bài 2.
Ta sẽ chứng minh $1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
Xét với $n=1$ thì đẳng thức trên là đúng.
Giả sử đẳng thức trên đúng với $n=k$ thì
$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
nên đẳng thức trên đúng với $n=k+1$
Giả sử $k>2$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $n=k$ thì đẳng thức trên sai. Khi đó đẳng thức đúng với $n=k-1$ nên cũng đúng với $n=k$ vô lý.
Do đó đẳng thức trên đúng với mọi $n$ nguyên dương.
Ta có điều phải chứng minh.