Đúng như bạn ở trên nói, phương pháp hàm lặp chỉ là phương pháp thay liên tiếp [imath]x_n,x_{n-1},...[/imath] để biểu diễn [imath]x_{n+1}[/imath] thành các phần tử đã biết.
Nhưng mà, phương pháp trên chỉ dùng được khi biểu diễn [imath]x_{n+1}=f(x_n)[/imath]. Ở đây vì trong công thức truy hồi chứa cả [imath]n[/imath] nên không thể dùng được.
a) Chứng minh sử dụng quy nạp:
Nhận thấy [imath]x_1<1[/imath].
Giả sử [imath]x_k<1[/imath] đúng với [imath]k=n[/imath]. Ta sẽ chứng minh [imath]x_{n+1}<1[/imath]
Theo giả thiết quy nạp, [imath]x_n<1[/imath] nên [imath]x_{n+1}=\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}<\dfrac{2n+1}{3n+3}+\dfrac{n+2}{3n+3}=1[/imath]
Vậy [imath]x_{n+1}<1[/imath]. Theo nguyên lý quy nạp, ta có [imath]x_n<1 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
b) Ta thấy [imath]x_n<1[/imath] nên [imath](x_n)[/imath] bị chặn trên.
Mặt khác, do [imath]x_n<1 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath] nên [imath]x_{n+1}=\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}>\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}x_n=x_n \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Hay [imath](x_n)[/imath] là dãy tăng ngặt. Theo định lý Weierstrass thì [imath](x_n)[/imath] hội tụ.
Đặt [imath]l=\lim x_n[/imath] thì [imath]\dfrac{1}{2}<l \leq 1[/imath].
Ta biến đổi công thức tổng quát như sau: [imath]x_{n+1}=\dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{3+\dfrac{3}{n}}x_n+\dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{3+\dfrac{3}{n}}[/imath]
Cho [imath]n \to +\infty[/imath] và lấy giới hạn [imath]2[/imath] vế ta có: [imath]l=\dfrac{2}{3}l+\dfrac{1}{3} \Rightarrow l=1[/imath] (thỏa mãn)
Vậy [imath]\lim x_n=l=1[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG