Toán 11 Dãy số

[Thảo_UwU]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số [imath](x_n)[/imath] xác định bởi [imath]\begin{cases} x_1=\dfrac{1}{2} \\ x_{n+1}=\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3} \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}[/imath]
Chứng minh rằng:
a) [imath]x_n<1[/imath] với mọi [imath]n \in \mathbb{N}^*[/imath]
b) Dãy [imath](x_n)[/imath] có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.
Các bạn cho mình hỏi là bài này có thể sử dụng phương pháp hàm lặp.Hàm lặp là gì vậy ạ?Bài này nếu giải như thế thì giải như nào vậy ạ?

 

[manh huy]

chẳng hiểu hàm lặp là cái gì, nhưng nghe danh thì có lẽ chỉ là quy nạp bằng công thức truy toàn ban đầu.
thật vậy, thế hạng tử [imath]x_n[/imath] bằng biểu thức chứa [imath]x_{n-1}[/imath], và lặp lại (n-1) lần (để xuất hiện hạng tử [imath]x_1 = \frac 1 2[/imath])
rút gọn ta thu được: [math]\begin{aligned} x_{n+1} &= \frac{2n+1}{3n+3}\left( \frac{2n+1}{3n+3} x_{n-1}+\frac{n+2}{3n+3}\right) + \frac{n+2}{3n+3} \\ &= ... = \left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^n x_1 + \frac{n+2}{3n+3}\sum^{n-1}_{i=0}\left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^i \\ &= \frac1 2 \left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^n + 1- \left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^n = 1- \frac 1 2 \left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^n \end{aligned}[/math]áp dụng số n = (n-1) để thu về biểu thức [imath]x_n[/imath]. rõ rành phân thức luôn bé hơn 1 nên a, dễ dàng cm. câu b thì dùng mấy tiêu chuẩn để kiểm tra, rồi tính ghan thoi.
rõ rành cách này k hay bằng việc sử dụng tính chất tuyến tính của qh truy toàn

 

[7 1 2 5]

chẳng hiểu hàm lặp là cái gì, nhưng nghe danh thì có lẽ chỉ là quy nạp bằng công thức truy toàn ban đầu.
thật vậy, thế hạng tử [imath]x_n[/imath] bằng biểu thức chứa [imath]x_{n-1}[/imath], và lặp lại (n-1) lần (để xuất hiện hạng tử [imath]x_1 = \frac 1 2[/imath])
rút gọn ta thu được: [math]\begin{aligned} x_{n+1} &= \frac{2n+1}{3n+3}\left( \frac{2n+1}{3n+3} x_{n-1}+\frac{n+2}{3n+3}\right) + \frac{n+2}{3n+3} \\ &= ... = \left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^n x_1 + \frac{n+2}{3n+3}\sum^{n-1}_{i=0}\left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^i \\ &= \frac1 2 \left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^n + 1- \left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^n = 1- \frac 1 2 \left( \frac{2n+1}{3n+3}\right)^n \end{aligned}[/math]áp dụng số n = (n-1) để thu về biểu thức [imath]x_n[/imath]. rõ rành phân thức luôn bé hơn 1 nên a, dễ dàng cm. câu b thì dùng mấy tiêu chuẩn để kiểm tra, rồi tính ghan thoi.
rõ rành cách này k hay bằng việc sử dụng tính chất tuyến tính của qh truy toàn

manh huyỞ đây bạn áp dụng công thức truy hồi sai rồi nhé.
[imath]x_n=\dfrac{2(n-1)+1}{3(n-1)+3}x_{n-1}+\dfrac{(n-1)+2}{3(n-1)+3}=\dfrac{2n-1}{3n}x_{n-1}+\dfrac{n+1}{3n}[/imath]
Cho nên bạn sai ngay từ dấu "=" đầu tiên nhé.

 

[Thảo_UwU]

Ở đây bạn áp dụng công thức truy hồi sai rồi nhé.
[imath]x_n=\dfrac{2(n-1)+1}{3(n-1)+3}x_{n-1}+\dfrac{(n-1)+2}{3(n-1)+3}=\dfrac{2n-1}{3n}x_{n-1}+\dfrac{n+1}{3n}[/imath]
Cho nên bạn sai ngay từ dấu "=" đầu tiên nhé.

7 1 2 5nếu làm như này thì tiếp theo mình biến đổi như nào v ạ?

 

[manh huy]

Ở đây bạn áp dụng công thức truy hồi sai rồi nhé.
[imath]x_n=\dfrac{2(n-1)+1}{3(n-1)+3}x_{n-1}+\dfrac{(n-1)+2}{3(n-1)+3}=\dfrac{2n-1}{3n}x_{n-1}+\dfrac{n+1}{3n}[/imath]
Cho nên bạn sai ngay từ dấu "=" đầu tiên nhé.

7 1 2 5dạ sogi e nhầm hơi ngớ

 

[7 1 2 5]

Đúng như bạn ở trên nói, phương pháp hàm lặp chỉ là phương pháp thay liên tiếp [imath]x_n,x_{n-1},...[/imath] để biểu diễn [imath]x_{n+1}[/imath] thành các phần tử đã biết.
Nhưng mà, phương pháp trên chỉ dùng được khi biểu diễn [imath]x_{n+1}=f(x_n)[/imath]. Ở đây vì trong công thức truy hồi chứa cả [imath]n[/imath] nên không thể dùng được.
a) Chứng minh sử dụng quy nạp:
Nhận thấy [imath]x_1<1[/imath].
Giả sử [imath]x_k<1[/imath] đúng với [imath]k=n[/imath]. Ta sẽ chứng minh [imath]x_{n+1}<1[/imath]
Theo giả thiết quy nạp, [imath]x_n<1[/imath] nên [imath]x_{n+1}=\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}<\dfrac{2n+1}{3n+3}+\dfrac{n+2}{3n+3}=1[/imath]
Vậy [imath]x_{n+1}<1[/imath]. Theo nguyên lý quy nạp, ta có [imath]x_n<1 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
b) Ta thấy [imath]x_n<1[/imath] nên [imath](x_n)[/imath] bị chặn trên.
Mặt khác, do [imath]x_n<1 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath] nên [imath]x_{n+1}=\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}>\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}x_n=x_n \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Hay [imath](x_n)[/imath] là dãy tăng ngặt. Theo định lý Weierstrass thì [imath](x_n)[/imath] hội tụ.
Đặt [imath]l=\lim x_n[/imath] thì [imath]\dfrac{1}{2}<l \leq 1[/imath].
Ta biến đổi công thức tổng quát như sau: [imath]x_{n+1}=\dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{3+\dfrac{3}{n}}x_n+\dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{3+\dfrac{3}{n}}[/imath]
Cho [imath]n \to +\infty[/imath] và lấy giới hạn [imath]2[/imath] vế ta có: [imath]l=\dfrac{2}{3}l+\dfrac{1}{3} \Rightarrow l=1[/imath] (thỏa mãn)
Vậy [imath]\lim x_n=l=1[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG

 

[Thảo_UwU]

Đúng như bạn ở trên nói, phương pháp hàm lặp chỉ là phương pháp thay liên tiếp [imath]x_n,x_{n-1},...[/imath] để biểu diễn [imath]x_{n+1}[/imath] thành các phần tử đã biết.
Nhưng mà, phương pháp trên chỉ dùng được khi biểu diễn [imath]x_{n+1}=f(x_n)[/imath]. Ở đây vì trong công thức truy hồi chứa cả [imath]n[/imath] nên không thể dùng được.
a) Chứng minh sử dụng quy nạp:
Nhận thấy [imath]x_1<1[/imath].
Giả sử [imath]x_k<1[/imath] đúng với [imath]k=n[/imath]. Ta sẽ chứng minh [imath]x_{n+1}<1[/imath]
Theo giả thiết quy nạp, [imath]x_n<1[/imath] nên [imath]x_{n+1}=\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}<\dfrac{2n+1}{3n+3}+\dfrac{n+2}{3n+3}=1[/imath]
Vậy [imath]x_{n+1}<1[/imath]. Theo nguyên lý quy nạp, ta có [imath]x_n<1 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
b) Ta thấy [imath]x_n<1[/imath] nên [imath](x_n)[/imath] bị chặn trên.
Mặt khác, do [imath]x_n<1 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath] nên [imath]x_{n+1}=\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}>\dfrac{2n+1}{3n+3}x_n+\dfrac{n+2}{3n+3}x_n=x_n \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Hay [imath](x_n)[/imath] là dãy tăng ngặt. Theo định lý Weierstrass thì [imath](x_n)[/imath] hội tụ.
Đặt [imath]l=\lim x_n[/imath] thì [imath]\dfrac{1}{2}<l \leq 1[/imath].
Ta biến đổi công thức tổng quát như sau: [imath]x_{n+1}=\dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{3+\dfrac{3}{n}}x_n+\dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{3+\dfrac{3}{n}}[/imath]
Cho [imath]n \to +\infty[/imath] và lấy giới hạn [imath]2[/imath] vế ta có: [imath]l=\dfrac{2}{3}l+\dfrac{1}{3} \Rightarrow l=1[/imath] (thỏa mãn)
Vậy [imath]\lim x_n=l=1[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG

7 1 2 5Bạn có thể nêu khái quát về định lí weierstrass không ạ?Ở trên mạng họ viết định lí này khó hiểu quá :<

 

[7 1 2 5]

Bạn có thể nêu khái quát về định lí weierstrass không ạ?Ở trên mạng họ viết định lí này khó hiểu quá :<

Gawr GuraỞ chương trình phổ thông thì định lý Weierstrass được phát biểu như sau:
"Nếu như một dãy tăng bị chặn trên thì dãy đó có giới hạn hữu hạn."
Tương ứng thì dãy giảm và bị chặn dưới thì cũng có giới hạn hữu hạn.