Ta có:[tex]\frac{u_n}{u_n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{u_{n+1}.u_{n}}=\frac{u_{n+1}-u_{n}}{2017u_{n+[tex]\Rightarrow a=0[/tex] 1}.u_{n}} =\frac{1}{2017}(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_k}{u_k+1}=\frac{1}{2017}(\frac{1}{u_1}-\frac{1}{u_{k+1}})]=\frac{1}{2017}(\frac{1}{2017}-\frac{1}{u_{k+1}})[/tex]
Lại có: [tex]u_{n+1}>u_{n}\geq 2017[/tex]
Vậy {u_n} là dãy đơn điệu tăng
Do đó, nếu {u_n} bị chặn trên thì nó hội tụ về a hữu hạn
Suy ra: [tex]a=\lim_{n\rightarrow \infty } u_{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }(2017u_{n}^{2}+u_{n})=a+2017a^2[/tex]
[tex]\Rightarrow a=0[/tex]
Vô lý vì {u_n} là dãy đơn điệu tăng và [tex]u_n=2017[/tex]
Vậy dãy {u_n} không bị chặn trên, do đó
[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }=+\infty[/tex]
[tex]\Rightarrow lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+.....+\frac{u_{n}}{u_{n+1}}) =\frac{1}{2017^{2}}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
