Hmm, đang gõ bị lỡ f5 mất rùi, thoi làm qua qua thoi nha.
Câu 3: Chắc bạn giải được công thức tổng quát dãy chứ, hơi xấu nhma vẫn giải ra như nè:
[imath]a_n =\dfrac{9-4\sqrt{5}}{3} \left( \dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^n+\dfrac{9+4\sqrt{5}}{3} \left( \dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^n[/imath]
Tính:
[imath]a_n+a_{n+1}+2 = \dfrac{9-4\sqrt{5}}{3} \left( \dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^n+\dfrac{9+4\sqrt{5}}{3} \left( \dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^n +\dfrac{9-4\sqrt{5}}{3} \left( \dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{9+4\sqrt{5}}{3} \left( \dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+2[/imath]
[imath]= \dfrac{7-3\sqrt{5}}{2} \left( \dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^n +\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \left( \dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^n +2[/imath]
[imath]=\left( \dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} + \left( \dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}+2[/imath]
[imath]=\left[\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\right]^2+ \left[\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\right]^2+ 2. \left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} . \left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}[/imath]
[imath]= \left[ \left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} + \left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\right]^2[/imath]
Giờ bạn chỉ cần chứng minh dãy [imath]v_n = \left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} + \left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}[/imath] nguyên mọi n.
Ta truy ngược lại được công thức: [imath]v_{n+2} = 3v_{n+1} -v_{n};v_{1} =2;v_2={3}[/imath] Đó là suy ra dãy nguyên nha
oanh6807Xem lại câu 5 nhé.
6. Ta tính được [imath]a_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}+1[/imath]
Đặt [imath]b_n=a_n-1[/imath] thì từ công thức truy hồi ta có [imath]b_{n+1}=b_n^3+3b_n[/imath]
Dạng công thức truy hồi này sẽ suy ra [imath]b_n=a^{3^n}-\dfrac{1}{a^{3^n}}[/imath]. Lại có [imath]b_1=\dfrac{3}{2}[/imath] nên [imath]b_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}[/imath]
Suy ra [imath]a_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}+1[/imath]
Từ đó [imath][a_n]+1=2^{3^n}+1[/imath]. Xét [imath]n[/imath] thỏa mãn [imath]3^{2022} \mid 2^{3^n}+1[/imath]
Áp dụng định lý LTE ta có [imath]v_3(2^{3^n}+1)=v_3(2+1)+v_3(3^n)=n+1 \Rightarrow n+1 \geq 2022 \Rightarrow n \geq 2021[/imath]
Từ đó [imath]n_{\min }=2021[/imath]
10. Ta tìm được công thức truy hồi của [imath](x_n),(y_n)[/imath] như sau: [imath]\begin{cases} x_0=1,x_1=3 \\ x_{n+1}=6x_n-x_{n-1} \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}[/imath]
[imath]\begin{cases} y_0=0,y_1=2 \\ y_{n+1}=6y_n-y_{n-1} \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}[/imath]
Từ đó ta tìm được công thức tổng quát như sau: [imath]x_n=\dfrac{1}{2}[(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n], y_n=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}[(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n][/imath]
Đặt [imath](3+2\sqrt{2})^n=A_n+B_n\sqrt{2} \Rightarrow (3-2\sqrt{2})^n=A_n-B_n\sqrt{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow x_n=A_n,y_n=B_n[/imath]
Ta có [imath]1=(3+2\sqrt{2})^n(3-2\sqrt{2})^n=(A_n+B_n\sqrt{2})(A_n-B_n\sqrt{2})=A_n^2-2B_n^2[/imath]
[imath]\Rightarrow x_n^2=2y_n^2+1[/imath]
Mặt khác, bằng quy nạp ta có [imath]y_n^2-y_{n-1}y_{n+1}=y_1^2-y_0y_2=8[/imath]
[imath]\Rightarrow x_n^2=2y_n^2+1=2(y_{n-1}y_{n+1}+8)+1 \equiv 9(\mod y_{n+1})[/imath]
9. a) Từ giả thiết ta có [imath](a_{n+2}+a_{n+1})(a_{n+1}+a_n)=9a_{n+1}^2[/imath]
[imath]\Rightarrow (a_{n+1}+a_n)(a_n+a_{n-1})=9a_n^2[/imath]
Trừ vế theo vế [imath]2[/imath] biểu thức trên ta có [imath](a_n+a_{n+1})(a_{n+2}+a_{n+1}-a_n-a_{n-1})=(a_n+a_{n+1})(9a_{n+1}-9a_n)[/imath]
Dễ thấy [imath](a_n)[/imath] là dãy dương nên [imath]a_{n+2}+a_{n+1}-a_n-a_{n-1}=9a_{n+1}-9a_n[/imath]
[imath]\Rightarrow a_{n+2}=8a_{n+1}-8a_n+a_{n-1}[/imath]
Từ đó [imath](a_n)[/imath] là dãy nguyên.
b) Quy nạp ta được [imath]a_n=F_{2n}^2+1[/imath]
Biến đổi [imath]a_{n+1}+a_n+3=F_{2n}^2+F_{2n+2}^2+5=3F_{2n-1}F_{2n+3}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{(-1)^n}{a_{n+1}+a_n+3}=\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{(-1)^n \cdot 3F_{2n+1}}{F_{2n-1}F_{2n+1}F_{2n+3}}=\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{(-1)^n(F_{2n+3}+F_{2n-1})}{F_{2n-1}F_{2n+1}F_{2n+3}}=\dfrac{(-1)^n}{9}\left(\dfrac{1}{F_{2n-1}F_{2n+1}}+\dfrac{1}{F_{2n+1}F_{2n+3}}\right)[/imath]
[imath]\Rightarrow T=\dfrac{1}{9}\left(-\dfrac{1}{F_1F_3}-\dfrac{1}{F_3F_5}+\dfrac{1}{F_3F_5}+\dfrac{1}{F_5F_7}-...-\dfrac{1}{F_{4045}F_{4047}}-\dfrac{1}{F_{4047}F_{4049}}\right)=\dfrac{1}{9}\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{F_{4047}F_{4049}}\right)[/imath]
Xem lại câu 5 nhé.
6. Ta tính được [imath]a_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}+1[/imath]
Đặt [imath]b_n=a_n-1[/imath] thì từ công thức truy hồi ta có [imath]b_{n+1}=b_n^3+3b_n[/imath]
Dạng công thức truy hồi này sẽ suy ra [imath]b_n=a^{3^n}-\dfrac{1}{a^{3^n}}[/imath]. Lại có [imath]b_1=\dfrac{3}{2}[/imath] nên [imath]b_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}[/imath]
Suy ra [imath]a_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}+1[/imath]
Từ đó [imath][a_n]+1=2^{3^n}+1[/imath]. Xét [imath]n[/imath] thỏa mãn [imath]3^{2022} \mid 2^{3^n}+1[/imath]
Áp dụng định lý LTE ta có [imath]v_3(2^{3^n}+1)=v_3(2+1)+v_3(3^n)=n+1 \Rightarrow n+1 \geq 2022 \Rightarrow n \geq 2021[/imath]
Từ đó [imath]n_{\min }=2021[/imath]
oanh6807Em thấy [imath]a_n[/imath] nó chỉ phụ thuộc vào [imath]n[/imath] thôi nhé, cho nên nếu làm việc 1 xíu với dãy đó em sẽ thấy có hữu hạn số nguyên thôi.
Xem lại câu 5 nhé.
6. Ta tính được [imath]a_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}+1[/imath]
Đặt [imath]b_n=a_n-1[/imath] thì từ công thức truy hồi ta có [imath]b_{n+1}=b_n^3+3b_n[/imath]
Dạng công thức truy hồi này sẽ suy ra [imath]b_n=a^{3^n}-\dfrac{1}{a^{3^n}}[/imath]. Lại có [imath]b_1=\dfrac{3}{2}[/imath] nên [imath]b_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}[/imath]
Suy ra [imath]a_n=2^{3^n}-\dfrac{1}{2^{3^n}}+1[/imath]
Từ đó [imath][a_n]+1=2^{3^n}+1[/imath]. Xét [imath]n[/imath] thỏa mãn [imath]3^{2022} \mid 2^{3^n}+1[/imath]
Áp dụng định lý LTE ta có [imath]v_3(2^{3^n}+1)=v_3(2+1)+v_3(3^n)=n+1 \Rightarrow n+1 \geq 2022 \Rightarrow n \geq 2021[/imath]
Từ đó [imath]n_{\min }=2021[/imath]
10. Ta tìm được công thức truy hồi của [imath](x_n),(y_n)[/imath] như sau: [imath]\begin{cases} x_0=1,x_1=3 \\ x_{n+1}=6x_n-x_{n-1} \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}[/imath]
[imath]\begin{cases} y_0=0,y_1=2 \\ y_{n+1}=6y_n-y_{n-1} \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}[/imath]
Từ đó ta tìm được công thức tổng quát như sau: [imath]x_n=\dfrac{1}{2}[(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n], y_n=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}[(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n][/imath]
Đặt [imath](3+2\sqrt{2})^n=A_n+B_n\sqrt{2} \Rightarrow (3-2\sqrt{2})^n=A_n-B_n\sqrt{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow x_n=A_n,y_n=B_n[/imath]
Ta có [imath]1=(3+2\sqrt{2})^n(3-2\sqrt{2})^n=(A_n+B_n\sqrt{2})(A_n-B_n\sqrt{2})=A_n^2-2B_n^2[/imath]
[imath]\Rightarrow x_n^2=2y_n^2+1[/imath]
Mặt khác, bằng quy nạp ta có [imath]y_n^2-y_{n-1}y_{n+1}=y_1^2-y_0y_2=8[/imath]
[imath]\Rightarrow x_n^2=2y_n^2+1=2(y_{n-1}y_{n+1}+8)+1 \equiv 9(\mod y_{n+1})[/imath]
9. a) Từ giả thiết ta có [imath](a_{n+2}+a_{n+1})(a_{n+1}+a_n)=9a_{n+1}^2[/imath]
[imath]\Rightarrow (a_{n+1}+a_n)(a_n+a_{n-1})=9a_n^2[/imath]
Trừ vế theo vế [imath]2[/imath] biểu thức trên ta có [imath](a_n+a_{n+1})(a_{n+2}+a_{n+1}-a_n-a_{n-1})=(a_n+a_{n+1})(9a_{n+1}-9a_n)[/imath]
Dễ thấy [imath](a_n)[/imath] là dãy dương nên [imath]a_{n+2}+a_{n+1}-a_n-a_{n-1}=9a_{n+1}-9a_n[/imath]
[imath]\Rightarrow a_{n+2}=8a_{n+1}-8a_n+a_{n-1}[/imath]
Từ đó [imath](a_n)[/imath] là dãy nguyên.
b) Quy nạp ta được [imath]a_n=F_{2n}^2+1[/imath]
Biến đổi [imath]a_{n+1}+a_n+3=F_{2n}^2+F_{2n+2}^2+5=3F_{2n-1}F_{2n+3}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{(-1)^n}{a_{n+1}+a_n+3}=\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{(-1)^n \cdot 3F_{2n+1}}{F_{2n-1}F_{2n+1}F_{2n+3}}=\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{(-1)^n(F_{2n+3}+F_{2n-1})}{F_{2n-1}F_{2n+1}F_{2n+3}}=\dfrac{(-1)^n}{9}\left(\dfrac{1}{F_{2n-1}F_{2n+1}}+\dfrac{1}{F_{2n+1}F_{2n+3}}\right)[/imath]
[imath]\Rightarrow T=\dfrac{1}{9}\left(-\dfrac{1}{F_1F_3}-\dfrac{1}{F_3F_5}+\dfrac{1}{F_3F_5}+\dfrac{1}{F_5F_7}-...-\dfrac{1}{F_{4045}F_{4047}}-\dfrac{1}{F_{4047}F_{4049}}\right)=\dfrac{1}{9}\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{F_{4047}F_{4049}}\right)[/imath]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
