Giả sử tồn tại số thực [imath]x>1[/imath] không nguyên thỏa mãn đề bài.
Ta có [imath]3[/imath] nhận xét sau là hoàn thành bài toán:
+ [imath][x^n]([x]-1)< [x^{n+1}][/imath] với [imath]n[/imath] đủ lớn.
+ [imath][x^n][x]>[x^{n+1}][/imath] với [imath]n[/imath] đủ lớn.
+ Công bội của [imath](a_n)[/imath] phải nguyên.
Chứng minh nhận xét 1:
Ta thấy [imath][x^n] \leq x^n, [x]-1 <x-1[/imath] nên ta có: [imath][x^n]([x]-1)<x^n(x-1)<x^{n+1}-1<[x^{n+1}][/imath]
Chứng minh nhận xét 2:
Ta có [imath][x^{n+1}]=[x^n[x]+x^n\lbrace x \rbrace])] \geq [x^n[x]]+[x^n \lbrace x \rbrace ][/imath]
Ta lại có bất đẳng thức [imath][kn] \geq k[n] \forall k \in \mathbb{N}^*[/imath] nên [imath][x^n[x]] \geq [x][x^n][/imath]
Với [imath]n[/imath] đủ lớn thì do [imath]x>1[/imath] nên tồn tại [imath]N > 0[/imath] sao cho [imath]x^n \lbrace x \rbrace >1 \forall n > N[/imath]
Từ đó [imath][x^{n+1}] > [x^n][x][/imath] với [imath]n[/imath] đủ lớn.
Chứng minh nhận xét 3:
Giả sử công bội của [imath](a_n)[/imath] là [imath]q=\dfrac{a}{b}[/imath] với [imath](a,b)=1,b >1[/imath].
Khi đó ta có [imath]a_n=a_1 \cdot (\dfrac{a}{b})^{n-1}=\dfrac{a^{n-1}[x]}{b^{n-1}}[/imath]
Vì [imath]b>1[/imath] nên tồn tại [imath]n[/imath] đủ lớn để [imath]b^{n-1} > [x] \Rightarrow b^{n-1} \nmid [x][/imath]
Mà [imath](a^{n-1},b^{n-1})=1[/imath] nên [imath]a_n=\dfrac{a^{n-1}[x]}{b^{n-1}} \notin \mathbb{Z}[/imath] với [imath]n[/imath] đủ lớn (mâu thuẫn)
Từ [imath]3[/imath] nhận xét trên thì ta thấy sự mâu thuẫn với giả thiết [imath](a_n)[/imath] là cấp số nhân. Vậy ta có đpcm.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
