Đấu trường hình học giải tích phẳng

[anhnd1102]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Topic này lập ra giúp cho các bạn học thpt có thể nâng cao được trình độ về mảng giải tích phẳng mà bấy lâu nay các sĩ tử đại học thường gọi là " khó nhai " trong các kì thi đại học. Mong các bạn ủng hộ và tuân thủ các nội quy của topic để nó ngày càng củng cố và phát triển hơn. Cảm ơn!

Nội quy:
* Đánh số cho mỗi bài viết
* Gõ latex rõ ràng
* Trình bày sạch đẹp
* Không cần trình bày rõ ràng tất cả các bước nhưng phải đưa ra hướng giải cụ thể và đưa ra kết quả cuối cùng .
* Số bài viết đưa ra trên 2 bài mà chưa có lời giải thì mong các bạn, các anh chị chưa ra đề bài mới để tránh làm loãng topic .
* Những bài viết không đúng nội quy sẽ bị nhắc nhở (hoặc xóa bài nếu cần thiết ).

 

[anhnd1102]

Bài 1

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E) :[TEX]\frac{{x}^{2}}{25} + \frac{{y}^{2}}{4} = 1.[/TEX]. M và N là 2 điểm trên (E) sao cho tam giác OMN vuông tại O ( O là gốc tọa độ). Gọi H là hình chiếu của O trên MN. Tìm quỹ tích H.

Bài 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho 3 điểm A(3;4) , B(1;2) ,C(5;0) .viết phương trình đường thẳng d đi qua A(3;4) sao cho :

d=2d(B;d)+d(C;d) đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3:


Tam giác ABC có trung tuyến BM:2x+y−3=0; phân giác trong BN:x+y−2=0 . Điểm P(2;1) thuộc AB ,bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là [TEX]\sqrt{5}[/TEX]. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác .

 

[phumanhpro]

bài 2
Gọi phương trình đường thẳng qua A cần tìm là : a (x-3) + b (y-4) = 0 (${a}^{2}+{b}^{2} \neq $0) ($\Delta $)
Ta có:
2${d}_{(B;\Delta)}$ = $\frac{\begin{vmatrix}

-4a - 4b\end{vmatrix} }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
${d}_{(C;\Delta)}$ =$\frac{\begin{vmatrix}

2a - 4b\end{vmatrix} }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
Do đó: A = 2${d}_{(B;\Delta)}$ + ${d}_{(C;\Delta)}$
= + $\frac{\begin{vmatrix}

2a - 4b\end{vmatrix} }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$ = $\frac{\begin{vmatrix}

-4a - 4b\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}

2a - 4b\end{vmatrix} }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
Xét ${TH}_{1}$: B và C cùng phía với ($\Delta $) $\Leftrightarrow $ (-4a - 4b)(2a - 4b) $\geq 0$ ( * ):
Ta có: A = $\frac{\begin{vmatrix}

-2a - 8b\end{vmatrix} }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$ $\leq 2\sqrt{17}$ (1)
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow $ $\frac{a}{-2} = \frac{b}{-8} \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{4}$. Chọn (a = 1; b = 4) thỏa mãn ( * )
Vậy phương trình đường thẳng: x + 4y - 19 = 0.

Xét ${TH}_{2}$: B và C khác phía với ($\Delta $) $\Leftrightarrow $ (-4a - 4b)(2a - 4b) $\leq 0$ (* *):
Ta có: A = $\frac{\begin{vmatrix}

-6a \end{vmatrix} }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$ = ${d}_{(I;\Delta)}$ ( với I(2:4))
Ta thấy rằng đường thẳng ($\Delta $) qua A và chạy từ C đến B ( do B và C khác phía với ($\Delta $) ) do đó ${d}_{(I;\Delta)}$ max $\Leftrightarrow $ ($\Delta $) qua A và vuông góc với Ox (vẽ hình) . Khi đó ($\Delta $) : x = 3. và A = 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có ${A}_{max}$ = $ 2\sqrt{17}$.
Kết luận: Phương trình đường thẳng: x + 4y - 19 = 0.

P/s: - Ở cách (TH1) ta có thể làm như (TH2). Tôi đưa ra 2 cách để các bạn có thể tham khảo và có thêm những cách làm hay.
- Cần nhớ $\begin{vmatrix}
a
\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}
b
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a + b
\end{vmatrix} \Leftrightarrow ab\geq 0$

 

[anhnd1102]

Bài 1

[TEX] M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right):OM\bot ON\Rightarrow N\left( k{{y}_{0}};-k{{x}_{0}} \right) \\ [/TEX]
[TEX]M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( E \right)\Rightarrow \frac{x_{0}^{2}}{25}+\frac{y_{0}^{2}}{4}=1 \\ [/TEX]
[TEX] N\left( k{{y}_{0}};-k{{x}_{0}} \right)\in \left( E \right)\Rightarrow \frac{{{k}^{2}}y_{0}^{2}}{25}+\frac{{{k}^{2}}x_{0} ^{2}}{4}=1\Rightarrow \frac{y_{0}^{2}}{25}+\frac{x_{0}^{2}}{4}=\frac{1}{ {{k}^{2}}} \\ [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{25}+\frac{x_{0}^{2}+y_{ 0}^{2}}{4}=1+\frac{1}{{{k}^{2}}} \\ [/TEX]
[TEX] \Rightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=\frac{100}{29}\left( 1+\frac{1}{{{k}^{2}}} \right) \\ [/TEX]
[TEX] \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{M}^{2}}}+\frac{1} {O{{N}^{2}}}=\frac{1}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}+\frac{1 }{{{k}^{2}}y_{0}^{2}+{{k}^{2}}x_{0}^{2}}=\frac{1}{ x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\left( 1+\frac{1}{{{k}^{2}}} \right)=\frac{29}{100} \\ [/TEX]
[TEX] \Rightarrow OH=\frac{10}{\sqrt{29}} \\ [/TEX]
[TEX]\Rightarrow {{x_H}^{2}}+{{y_H}^{2}}=\frac{100}{29} \\ [/TEX]

 

[anhnd1102]

+ Từ phương trình của BN và BM ta có thể suy ra toạ độ của B : B:
+ Ta suy ra phương trình đường thẳng của AB : y=1.
+ Đặt toạ độ của A: (a;1). Ta viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với BN. x-y+1-a=0.
+ Cho đường này giao với BN ta tìm được toạ độ của H là giao điểm : H:[TEX](\frac{a+1}{2};\frac{3-a}{2})[/TEX] ⇒ điểm D là điểm đối xứng của A qua H và D∈BC. D (1;2-a).
+ Từ đó ta có : [TEX]\vec{BD}=(0;1-a)[/TEX] và [TEX]\vec{AB}=(1-a;0)[/TEX] suy ra BD⊥AB suy ra tam giác ABC vuông tại B.
+ Đặt toạ độ của điểm M(m;3-2m) thì ta có : BM=AM (trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông) ⇒
(m−a)2+(2−2m)2=(m−1)2+(2−2m)2
⇒[TEX]\Rightarrow m=\frac{a+1}{2}[/TEX] (VÌ a#1)
+Thế m và chú ý rằng BM=AM= căn 5
⇒[TEX]\Rightarrow (1-a)^2+\frac{(1-a)^2}{4}=5[/TEX]
⇒[TEX]\Rightarrow (1-a)^2=4 \Leftrightarrow[/TEX]⇔ a=3 hoặc a=-1

 

[anhnd1102]

Bài 4

Trong mặt phẳng Oxy cho (C) :[TEX]x^2+y^2-6x+2y-15=0[/TEX] tìm M thuộc d:3x−22y−6=0 sao cho từ M kẻ được đến (C) 2 tiếp tuyến MA, MB với A và B là các tiếp điểm.
Và đường thẳng AB đi qua điểm C(0;1).