- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. đạo hàm cấp 2 của hàm số
- cho hàm số [tex]f(x)[/tex] có đạo hàm là [tex]f'(x)[/tex]. nếu hàm số [tex]f'(x)[/tex] có đạo hàm thì thì ta nói đạo hàm của [tex]f'(x)[/tex] là đạo hàm cấp 2 của hàm số [tex]y=f(x)[/tex].
- đạo hàm cấp 2 của hàm số [tex]y=f(x)[/tex] được kí hiệu là [tex]f''(x)[/tex] hoặc [tex]y''[/tex].
ví dụ 1: cho hàm số [tex]y=sinx[/tex]. tính đạo hàm cấp 2 của hàm số đã cho.
đạo hàm cấp 1: [tex]y'=(sinx)'=cosx[/tex]
đạo hàm cấp 2: [tex]y''=(cosx)'=-sinx[/tex].
ví dụ 2: cho hàm số [tex]y=\sqrt{x^2+x+1}[/tex]. tính [tex]y''[/tex].
đạo hàm cấp 1: [tex]y'=\frac{(x^2+x+1)'}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}[/tex]
đạo hàm cấp 2: [tex]y''=\left ( \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}} \right )'=\frac{(2x+1)'.\sqrt{x^2+x+1}-(2x+1).(\sqrt{x^2+x+1})'}{2(x^2+x+1)}=\frac{3}{4\sqrt{(x^2+x+1)^3}}[/tex]
ví dụ 3: cho hàm số [tex]y=\sqrt{x^2+x+3}[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]y.y''+(y')^2=1[/tex]
cách 1: tính y' và y'' rồi thay vào biểu thức trên.
cách 2:
ta có: [tex]y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+3}}<=>2\sqrt{x^2+x+3}.y'=2x+1<=>2y.y'=2x+1[/tex]
lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
[tex]2.(y.y')'=(2x+1)'[/tex] [tex]<=>2.(y.y''+(y')^2)=2<=>y.y''+(y')^2=1[/tex]
- ý nghĩa của đạo hàm cấp 2:
+ một vật chuyển động theo phương trình [tex]s(t)[/tex], biểu thị quãng đường theo thời gian t vật chuyển động.
+ [tex]s'(t)=v(t)[/tex] : vận tốc
+ [tex]s''(t)=v'(t)=a(t)[/tex] : gia tốc ( đặc trương cho sự thay đổi vận tốc của vật ).
2. đạo hàm cấp cao của hàm số
cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] có đạo hàm cấp [tex](n-1)[/tex] là [tex]f^{(n-1)}[/tex]. nếu hàm số [tex]f^{(n-1)}[/tex] có đạo hàm thì ta nói đạo hàm của hàm số [tex]f^{(n-1)}[/tex] là đạo hàm cấp n của hàm số [tex]y=f(x)[/tex].
kí hiệu đạo hàm cấp n là [tex]f^{(n)}(x)[/tex] hoặc [tex]y^{(n)}(x)[/tex]. [tex](n\geq 1;n\in \mathbb{N})[/tex]
quan niệm: [tex]f^{(0)}(x)=f(x);f^{(1)}(x)=f'(x);f^{(2)}(x)=f''(x.)[/tex]
- phương pháp tính đạo hàm cấp n:
+ về nguyên tắc, khi tính [tex]f^{(n)}(x)[/tex] ta phải đi tính [tex]f'(x), f''(x),...,f^{(n-1)}(x)[/tex]. [tex]f^{(n)}=[f^{(n-1)}]'[/tex]. tuy nhiên chỉ nên dùng khi tính đạo hàm cấp 5 trở xuống.
+ khi tính đạo hàm cấp cao của 1 số hàm số, ta có thể đạo hàm 1 vài lần, rồi dự đoán công thúc tổng quát của đạo hàm. rồi chứng minh công thức tổng quát bằng quy nạp.
ví dụ 4: cho hàm số [tex]y=sin(ax+b)[/tex]. tính đạo hàm cấp n.
đạo hàm cấp 1: [tex]y'=a.cos(ax+b)=a^1.sin(ax+b+\frac{\pi }{2})[/tex]
đạo hàm cấp 2: [tex]y'=-a^2.sin(ax+b)=a^2.sin(ax+b+2.\frac{\pi }{2})[/tex]
đạo hàm cấp 3: [tex]y'=-a^3.cos(ax+b)=a^3.sin(ax+b+3.\frac{\pi }{2})[/tex]
như vậy, ta có thể dự đoán được công thức tổng quát của đạo hàm cấp thứ n của hàm số là: [tex]y^{(n)}=a^n.sin(ax+b+n.\frac{\pi }{2})[/tex] (*).
chứng minh bằng quy nạp:
với n=1, thì (*) đúng.
giả sử (*) đúng với n=k. hay [tex]y^{(k)}=a^k.sin(ax+b+k.\frac{\pi }{2})[/tex]
ta phải chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1. ta có:
[[tex]y^{(k+1)}=y^{(k)}'=a^{k+1}.cos(ax+b+k.\pi /2)=a^{k+1}.sin(ax+b+(k+1).\pi /2)[/tex]
vậy, (*) đúng.
* đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp.
- [tex]y=(ax+b)^\alpha[/tex]
+ nếu [tex]\alpha \neq 1: y^{(n)}=\alpha (\alpha -1)...(\alpha -(n-1)).\alpha ^n.(ax+b)^{\alpha -1}[/tex]
+ nếu [tex]\alpha =-1: y^{(n)}=\frac{(-1)^n.n!.a^n}{(ax+b)^{n+1}}[/tex]
- cho hàm số [tex]f(x)[/tex] có đạo hàm là [tex]f'(x)[/tex]. nếu hàm số [tex]f'(x)[/tex] có đạo hàm thì thì ta nói đạo hàm của [tex]f'(x)[/tex] là đạo hàm cấp 2 của hàm số [tex]y=f(x)[/tex].
- đạo hàm cấp 2 của hàm số [tex]y=f(x)[/tex] được kí hiệu là [tex]f''(x)[/tex] hoặc [tex]y''[/tex].
ví dụ 1: cho hàm số [tex]y=sinx[/tex]. tính đạo hàm cấp 2 của hàm số đã cho.
đạo hàm cấp 1: [tex]y'=(sinx)'=cosx[/tex]
đạo hàm cấp 2: [tex]y''=(cosx)'=-sinx[/tex].
ví dụ 2: cho hàm số [tex]y=\sqrt{x^2+x+1}[/tex]. tính [tex]y''[/tex].
đạo hàm cấp 1: [tex]y'=\frac{(x^2+x+1)'}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}[/tex]
đạo hàm cấp 2: [tex]y''=\left ( \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}} \right )'=\frac{(2x+1)'.\sqrt{x^2+x+1}-(2x+1).(\sqrt{x^2+x+1})'}{2(x^2+x+1)}=\frac{3}{4\sqrt{(x^2+x+1)^3}}[/tex]
ví dụ 3: cho hàm số [tex]y=\sqrt{x^2+x+3}[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]y.y''+(y')^2=1[/tex]
cách 1: tính y' và y'' rồi thay vào biểu thức trên.
cách 2:
ta có: [tex]y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+3}}<=>2\sqrt{x^2+x+3}.y'=2x+1<=>2y.y'=2x+1[/tex]
lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
[tex]2.(y.y')'=(2x+1)'[/tex] [tex]<=>2.(y.y''+(y')^2)=2<=>y.y''+(y')^2=1[/tex]
- ý nghĩa của đạo hàm cấp 2:
+ một vật chuyển động theo phương trình [tex]s(t)[/tex], biểu thị quãng đường theo thời gian t vật chuyển động.
+ [tex]s'(t)=v(t)[/tex] : vận tốc
+ [tex]s''(t)=v'(t)=a(t)[/tex] : gia tốc ( đặc trương cho sự thay đổi vận tốc của vật ).
2. đạo hàm cấp cao của hàm số
cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] có đạo hàm cấp [tex](n-1)[/tex] là [tex]f^{(n-1)}[/tex]. nếu hàm số [tex]f^{(n-1)}[/tex] có đạo hàm thì ta nói đạo hàm của hàm số [tex]f^{(n-1)}[/tex] là đạo hàm cấp n của hàm số [tex]y=f(x)[/tex].
kí hiệu đạo hàm cấp n là [tex]f^{(n)}(x)[/tex] hoặc [tex]y^{(n)}(x)[/tex]. [tex](n\geq 1;n\in \mathbb{N})[/tex]
quan niệm: [tex]f^{(0)}(x)=f(x);f^{(1)}(x)=f'(x);f^{(2)}(x)=f''(x.)[/tex]
- phương pháp tính đạo hàm cấp n:
+ về nguyên tắc, khi tính [tex]f^{(n)}(x)[/tex] ta phải đi tính [tex]f'(x), f''(x),...,f^{(n-1)}(x)[/tex]. [tex]f^{(n)}=[f^{(n-1)}]'[/tex]. tuy nhiên chỉ nên dùng khi tính đạo hàm cấp 5 trở xuống.
+ khi tính đạo hàm cấp cao của 1 số hàm số, ta có thể đạo hàm 1 vài lần, rồi dự đoán công thúc tổng quát của đạo hàm. rồi chứng minh công thức tổng quát bằng quy nạp.
ví dụ 4: cho hàm số [tex]y=sin(ax+b)[/tex]. tính đạo hàm cấp n.
đạo hàm cấp 1: [tex]y'=a.cos(ax+b)=a^1.sin(ax+b+\frac{\pi }{2})[/tex]
đạo hàm cấp 2: [tex]y'=-a^2.sin(ax+b)=a^2.sin(ax+b+2.\frac{\pi }{2})[/tex]
đạo hàm cấp 3: [tex]y'=-a^3.cos(ax+b)=a^3.sin(ax+b+3.\frac{\pi }{2})[/tex]
như vậy, ta có thể dự đoán được công thức tổng quát của đạo hàm cấp thứ n của hàm số là: [tex]y^{(n)}=a^n.sin(ax+b+n.\frac{\pi }{2})[/tex] (*).
chứng minh bằng quy nạp:
với n=1, thì (*) đúng.
giả sử (*) đúng với n=k. hay [tex]y^{(k)}=a^k.sin(ax+b+k.\frac{\pi }{2})[/tex]
ta phải chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1. ta có:
[[tex]y^{(k+1)}=y^{(k)}'=a^{k+1}.cos(ax+b+k.\pi /2)=a^{k+1}.sin(ax+b+(k+1).\pi /2)[/tex]
vậy, (*) đúng.
* đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp.
- [tex]y=(ax+b)^\alpha[/tex]
+ nếu [tex]\alpha \neq 1: y^{(n)}=\alpha (\alpha -1)...(\alpha -(n-1)).\alpha ^n.(ax+b)^{\alpha -1}[/tex]
+ nếu [tex]\alpha =-1: y^{(n)}=\frac{(-1)^n.n!.a^n}{(ax+b)^{n+1}}[/tex]
