dành cho pro Nhị thức ^^!

[sieuchicken]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính tổng sau :

[TEX]S=\frac{7}{3} C_n^0 + \frac{15}{4}C_n^1+....+\frac{2^{n+2}-1}{n+2}C_n^{n+1} + \frac{n^{n+3}-1}{n+3}C_n^n[/TEX]

 

[vungocthanhsp2]

Đề bài như sau:
Tính:[TEX]S = \frac{7}{3}C_n^0 + \frac{{15}}{4}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 2}} - 1}}{{n + 2}}C_n^{n - 1} + \frac{{{2^{n + 3}} - 1}}{{n + 3}}C_n^n[/TEX]

Bài làm
Ta có:
[TEX]{(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + ... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow {x^2}{(1 + x)^n} = C_n^0{x^2} + C_n^1{x^3} + ... + C_n^{n - 1}{x^{n + 1}} + C_n^n{x^{n + 2}}[/TEX]

Lấy tích phân 2 vế
[TEX]\Rightarrow \int\limits_0^2 {{x^2}{{(1 + x)}^n}dx = } C_n^0\frac{{{2^3}}}{3} + C_n^1\frac{{{2^4}}}{4} + ... + C_n^{n - 1}.\frac{{{2^{n + 2}}}}{{n + 2}} + C_n^n.\frac{{{2^{n + 3}}}}{{n + 3}}[/TEX]
[TEX]\int\limits_0^1 {{x^2}{{(1 + x)}^n}dx = } C_n^0\frac{1}{3} + C_n^1\frac{1}{4} + ... + C_n^{n - 1}.\frac{1}{{n + 2}} + C_n^n.\frac{1}{{n + 3}}[/TEX]

Lấy 2 kết quả trên trừ vế với vế .Ta được vế trái là S
[TEX]\Rightarrow C_n^0\frac{{{2^3} - 1}}{3} + C_n^1\frac{{{2^4} - 1}}{4} + ... + C_n^{n - 1}.\frac{{{2^{n + 2}} - 1}}{{n + 2}} + C_n^n.\frac{{{2^{n + 3}} - 1}}{{n + 3}} = \int\limits_0^2 {{x^2}{{(1 + x)}^n}dx - } \int\limits_0^1 {{x^2}{{(1 + x)}^n}dx = } ?[/TEX]

Tính hiệu 2 tích phân trên là ra đáp số