Đẳng thức Ptolemy

[tensa_zangetsu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh đẳng thức Ptolemy.

Cho tứ giác $\text{ABCD}$ có $\hat{A}+\hat{C}=180^{o}$.
C/m: $AC.BD=AB.CD+BC.DA$

P/s: Cách giải của lớp $9$ khá dễ nên mình không đăng vào mục lớp $9$. các bạn giải bằng đồng dạng giúp. Thanks!

 

[su10112000a]

tham khảo nhé

Định lý Ptolemy hay Đẳng thức Ptolemy là đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường tròn. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (Claudius Ptolemaeus).
Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:
AC.BD=AB.CD + BC.AD
(độ dài của các cạnh).
Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:
Thuận :Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện.
Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

Dựng thêm hình để chứng minh định lý Ptolemy.
Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.
Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD ∼ △KBC.
Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

* ]Bất đẳng thức Ptolemy

Đối với một tứ giác không nội tiếp trong đường tròn khi đó ta có bất đẳng thức Ptolemy.

AB.CD + BC.DA >= AC.BD
Dựng thêm điểm E sao cho 2 tam giác BCD và BEA đồng dạng.
Bất đẳng thức Ptolemy là trường hợp tổng quát của định lý Ptolemy đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemy.
Chứng minh
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.
Dựng điểm E sao cho tam giác △BCD đồng dạng với tam giác △BEA. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có
$\frac{BA}{EA}$ = $\frac{BD}{CD}$
Suy ra
BA.CD = EA.BD (1)
Mặt khác, hai tam giác △EBC và △ABD cũng đồng dạng do có
$\frac{BA}{BD}$ = $\frac{BE}{BC}$ và ∠EBC = ∠ABD
Từ đó
EC/BC = AD/BD
Suy ra
AD.BC = EC.BD (2)
Cộng (1) và (2) ta suy ra
AB.CD + AD.BC = BD.(EA+EC)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra
AB.CD + BC.DA\geq AC.BD

(Nguồn: http://vi.wikipedia.org/wiki/Định_lý_Ptolemy)

 

[ronaldover7]

Làm theo cách lớp 8 bạn ơi!

Kéo dài doạn thẳng AD ,BC cắt nhau tại K
CM dc:Tam giác AKB~ tam giác CKD(g.g)
\RightarrowTam giác AKC~ tam giác BKD(c.g.c)
Từ A kẻ dg thẳng AI sao cho$\widehat{DAI}=\widehat{BAC}$
\Rightarrow Tam giác DAI~ tam giác CAB(g.g)
\Rightarrow Tam giác IAB~ tam giác DAC(g.g)
TỪ 2 cặp tam giác đó lập tỉ lê rồi cộng lại nhé!

 

[hunhan_luse]

.

Định lý nào là thuộc về môn nào vậy ạ, lớp mấy
Đây là dl nâng cao lớp 8 bạn ạ!