Dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

[cumicute1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/Phân tích đa thức thành nhân tử:
a/ $x^2 - (2x + 3)( x + 5) + 3$
b/ $x^{20} + x + 1$
c/ $(x^2 + y^2 + 1)^4 - 17(x^2 + y^2 + 1)^2x^2 + 16x^4$
2/ CMR nếu:
$a^2 + b^2 + c^2 =ab + bc + ac$ thì $a = b = c$
3/a/ Cho $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
CMR : $a = b =c$
b/ Cho $a + b = 1$
Tính giá trị biểu thức : $C = 2(a^3 + b^3) - 3(a^2 + b^2)$
4/
a/ Cho a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác ABC sao cho $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$
CMR tam giác ABC là tam giác đều
b/ Cmr với mọi số nguyên a thì $M= (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) +1$ là số chính phương
5/
Cho $A =\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2-b^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2}$

Rút gọn biểu thức A biết $a + b + c =0$

 

[connhikhuc]

1a)

[TEX]x^2-(2x+3).(x+5)+3 = x^2 - (2x^2 +13x +15)+3 = -x^2-13x-12 = -(x+12)(1+x)[/TEX]

 

[nguyentrantien]

2ta có
$a^2+b^2$\geq$2ab$
$b^2+c^2$\geq$2bc$
$c^2+a^2$\geq$2ca$
cộng vế theo vế ta có
$2(a^2+b^2+c^2)$\geq$2(ab+bc+ca)$
$a^2+b^2+c^2$\geq$ab+bc+ca$
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

 

[3820266phamtrinh]

2.
[TEX]a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2(a^2+b^2+c^2)=2(ab+cb+ac)[/TEX]
[TEX]a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2cb = 0[/TEX]
[TEX](a^2 - 2ab +b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (c^2 - 2cb +b^2)=0[/TEX]
[TEX](a-c)^2 + (c-b)^2 + (a-b)^2 =0[/TEX]
Ta thấy [TEX](a-c)^2\geq0[/TEX]
[TEX](a-b)^2\geq0[/TEX]
[TEX](c-b)^2\geq0[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a-c)^2 + (b-c)^a + (a-b)^2 \geq0[/TEX]
Dấu bằng xảy ra
\Leftrightarrow [TEX](a-c)^2=0[/TEX]
a-c=0
c=a
Và [TEX](c-b)^2=0[/SIZE][SIZE=3][/TEX]
c-b=0
c=b
Và [TEX](a-b)^2=0[/TEX]
a-b=0
a=b

\Rightarrow a = b = c (đpcm)​

 

[ranmouri]

(x²+y²+1)^4 - 17(x²+y²+1)².x² + 16x^4 =
= [(x²+y²+1)²]² - 2(x²+y²+1)².(4x²) + (4x²)² - 9(x²+y²+1)².x²
= [(x²+y²+1)² - 4x²]² - 9(x²+y²+1)².x²
= [(x²+y²+1)² - 4x² - 3(x²+y²+1)x].[(x²+y²+1)² - 4x² + 3(x²+y²+1)x]
= tự rút gọn lại ...

 

[chonhoi110]

Bài 5:$A =\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2-b^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2}$

Từ $a + b + c =0$ => $c=-(a+b)$ => $c^2=a^2+b^2+2ab$

Nên: $a^2+b^2-c^2=-2ab$

Tương tự: $b^2+c^2-a^2=-2bc$ ; $c^2+a^2-b^2=-2ca$

=> $A =\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2-b^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2}=\dfrac{-1}{2bc}+\dfrac{-1}{2ca}+\dfrac{-1}{2ab}=\dfrac{-(a+b+c)}{2abc}=0$

 

[chonhoi110]

Bài 4:
b/ $M= (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) +1$
$=(a^2+5a+4)(a^2+5a+6) +1$
Đặt $t=a^2+5a+5$
=> $M=(t-1)(t+1)+1=t^2$
Thế $a^2+5a+5=t$ vào M ta được đpcm

Bài 1:
b/ $x^{20} + x + 1$
$=(x^{20}-x^2)+(x^2+x+1)$
$=x^2(x^{18}-1)+(x^2+x+1)$
............
$=(x^2+x+1)(x^{18}-x^{17}+x^{15}-x^{14}+x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^5+x^3-x^2+1)$

 

[vipboycodon]

4b.$M = (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1$
= $[(a+1)(a+4)][(a+2)(a+3)]+1$
= $(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)+1$
Đặt $t = a^2+5a+4$
=> $M = t(t+2)+1$
= $t^2+2t+1$
= $(t+1)^2$
Thay $t = a^2+5a+4$ vào M ta được:
$M = (t+1)^2 = (a^2+5a+5)^2$
Vì $a \in Z$ nên a$^2+5a+5 \in Z$ , do đó $M = (a^2+5a+5)^2$ là bình phương của 1 số nguyên.

 

[huymi]

4a đây!!!
Vì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
=> a^3+b^3+c^3-3abc=0
Bạn phân tích và được hằng đẳng thức:
(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-ac-ca) = 0
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
=> a^2+b^2+c^2 -ab-ac-bc=0
=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 =0
=> a=b=c

Hơi tắt đó bạn, gắng tự hiểu nha