Toán Đại số

[Uchiha Sasuke']

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
[tex]\dpi{100} \fn_jvn \frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}+\frac{ab}{c(1+ab)}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex]

2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.
Tìm GTLN của P= [tex]\dpi{100} \fn_jvn \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+a+c}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}[/tex]

3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= [tex]\dpi{100} \fn_jvn 2\sqrt{abc}\left ( \frac{1}{\sqrt{3a^{2}+4b^{2}+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^{2}+4c^{2}+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^{2}+4a^{2}+5}} \right )[/tex]

4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTNN của P= [tex]\dpi{100} \fn_jvn \frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}[/tex]

 

[Uchiha Sasuke']

mod t

nhờ giải chỗ nào vậy

 

[baohiep2013@gmail.com]

Bài 1

 

[Uchiha Sasuke']

Câu 4 là Tìm GTLN nha

 

[baohiep2013@gmail.com]

Bài 4:
[tex]P=\frac{\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+\sqrt{ca}}[/tex]
[tex]P=\frac{1}{\sqrt{\frac{c}{a}}.\sqrt{\frac{c}{b}}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{a}{c}}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{b}{c}}.\sqrt{\frac{b}{a}}+1}[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{\frac{a}{b}}=x;\sqrt{\frac{b}{c}}=y;\sqrt{\frac{c}{a}}=z\Rightarrow xyz=1[/tex]
Khi đó: [tex]P=\frac{x}{3x+y}+\frac{y}{3y+z}+\frac{z}{3z+x}[/tex]
Ta chứng minh: [tex]P\leq \frac{3}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4x(3y+z)(3z+x)+4y(3z+x)(3x+y)+4z(3x+y)(3y+z)\le 3(3x+y)(3y+z)(3z+x)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 5x{{y}^{2}}+5y{{z}^{2}}+5z{{x}^{2}}+3{{x}^{2}}y+3{{y}^{2}}z+3{{z}^{2}}x\ge 24xyz[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{5y}{z}+\frac{5z}{x}+\frac{5x}{y}+\frac{3x}{z}+\frac{3y}{x}+\frac{3z}{y}\ge 24[/tex] (luôn đúng theo AM-GM)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c

 

[baohiep2013@gmail.com]

Gõ lại bài 1 (phòng khi hình bị lỗi)
Từ gt [tex]\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1[/tex]
Đặt [tex]\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1[/tex]
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
[tex]\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}\ge \frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex]
Theo AM-GM: [tex]\frac{x}{yz+1}+\frac{9x(yz+1)}{16}\ge \frac{3x}{2} \Rightarrow \frac{x}{yz+1}\ge \frac{15x-9xyz}{16}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{y}{zx+1}\ge \frac{15y-9xyz}{16}[/tex]; [tex]\frac{z}{xy+1}\ge \frac{15z-9xyz}{16}[/tex]
Do đó: [tex]\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}\ge \frac{15(x+y+z)-27xyz}{16}[/tex]
Lại có: [tex]{{(x+y+z)}^{2}}\ge 3(xy+yz+zx)=3\Rightarrow x+y+z\ge \sqrt{3}[/tex]
Theo AM-GM: [tex]1=xy+yz+zx\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\Leftrightarrow xyz\le \frac{\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow -27xyz\ge -3\sqrt{3}[/tex]
Do đó: [tex]\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}\ge \frac{15\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}[/tex]

 

[mailima1701]

bài 1 đến phần cần chứng minh x/(yz+1) nhân thêm x được k

 

[mailima1701]

Bài 4:
[tex]P=\frac{\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+\sqrt{ca}}[/tex]
[tex]P=\frac{1}{\sqrt{\frac{c}{a}}.\sqrt{\frac{c}{b}}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{a}{c}}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{b}{c}}.\sqrt{\frac{b}{a}}+1}[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{\frac{a}{b}}=x;\sqrt{\frac{b}{c}}=y;\sqrt{\frac{c}{a}}=z\Rightarrow xyz=1[/tex]
Khi đó: [tex]P=\frac{x}{3x+y}+\frac{y}{3y+z}+\frac{z}{3z+x}[/tex]
Ta chứng minh: [tex]P\leq \frac{3}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4x(3y+z)(3z+x)+4y(3z+x)(3x+y)+4z(3x+y)(3y+z)\le 3(3x+y)(3y+z)(3z+x)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 5x{{y}^{2}}+5y{{z}^{2}}+5z{{x}^{2}}+3{{x}^{2}}y+3{{y}^{2}}z+3{{z}^{2}}x\ge 24xyz[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{5y}{z}+\frac{5z}{x}+\frac{5x}{y}+\frac{3x}{z}+\frac{3y}{x}+\frac{3z}{y}\ge 24[/tex] (luôn đúng theo AM-GM)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c

min

 

[baohiep2013@gmail.com]

@mailima1701 chủ thớt sửa đề ở trên rồi

 

[mailima1701]

@mailima1701 chủ thớt sửa đề ở trên rồi

uk xin lỗi mk k để ý