Toán 9 Đại số nâng cao

[Nanh Trắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: [tex]4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 9[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca,r=abc[/tex]
Ta có:[tex]a^2+b^2+c^2=p^2-2q;a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)=p^3-3[(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc]=p^3-3(pq+r)=p^3-3pq+3r[/tex]
Cần chứng minh: [tex]4(p^2-2q)-(p^3-3pq+3r)\geq 9\Leftrightarrow 4(9-2q)-(27-9q+3r)\geq 9\Leftrightarrow q-3r+9\geq 9\Leftrightarrow q\geq 3r\Leftrightarrow pq\geq 9r\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc[/tex]
Thật vậy, ta có: [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc},ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc[/tex](đpcm)