dai so lop 8

[trangle986]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh BĐT $\dfrac{a^8+b^8+c^8}{(abc)^3} \ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

 

[transformers123]

theo đề bài, ta cần chứng minh:
$$a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^3c^3+a^3b^2c^3+a^3b^3+c^2$$
áp dụng Cauchy 8 số, ta có:
$a^3+a^3+b^3+b^3+b^3+c^3+c^3+c^3 \ge 8\sqrt[8]{a^{16}b^{24}c^{24}} = 8a^2b^3c^3$
làm tương tự rồi cộng lại, ta có:
$8(a^8+b^8+c^8) \ge 8( a^2b^3c^3+a^3b^2c^3+a^3b^3+c^2)$
$\Longleftrightarrow a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^3c^3+a^3b^2c^3+a^3b^3+c^2$
bất đẳng thức được chứng minh xong=))

 

[thaolovely1412]

Áp dụng bđt phụ sau: [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] ta có:
[TEX]a^8+b^8+c^8 \geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4[/TEX]
[TEX]a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \geq a^2b^3c^2+a^3b^2c^2+a^2b^2c^3=a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2) \geq a^2b^2c^2(ab+bc+ca)[/TEX]
Do đó: [TEX]a^8+b^8+c^8 \geq a^2b^2c^2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^8+b^8+c^8}{(abc)^3} \geq \frac{a^2b^2c^2(ab+bc+ca)}{(abc)^3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^8+b^8+c^8}{(abc)^3} \geq \frac{ab+bc+ca}{abc}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^8+b^8+c^8}{(abc)^3} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]