đại số khó

[embecuao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số a,b,c bất kì khác 0 sao cho ac+bc+ 3ab < 0
Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:
[TEX](ax^2 + bx + c) (bx^2 + cx + a)(cx^2 + ax +b) = 0[/TEX]

2. Cho a,b,c là 2 số dương. CM: [TEX]\frac{a}{a^4 + b^2} + \frac{b}{b^4 +a^2} \leq \frac{1}{ab}[/TEX]

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 2x + y - [TEX]2\sqrt{xy} - 6\sqrt{x} + 2\sqrt{y} [/TEX] + 2016 (với x,y [TEX]\geq[/TEX] 0)

4. Cho a,b,c là 3 số không âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab+bc+ac [TEX]\leq \frac{2}{7} + \frac{9abc}{7}[/TEX]

5. Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+d} + \frac{d}{d+a} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

 

[angleofdarkness]

5. Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+d} + \frac{d}{d+a} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

Cái cuối là $d^2$ nha bạn

Dùng BĐT B.C.S ta được:

$\sum \dfrac{a^2}{a+b} \ge \dfrac{(\sum a)^2}{\sum (a+b)}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a}=\dfrac{1}{2}$

Dấu = \Leftrightarrow a = b= c = d > 0

 

[angleofdarkness]

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 2x + y - [TEX]2\sqrt{xy} - 6\sqrt{x} + 2\sqrt{y} [/TEX] + 2016 (với x,y [TEX]\geq[/TEX] 0)

Có $A=2x+y-2\sqrt{xy} - 6\sqrt{x} + 2\sqrt{y}+2016 \\ =y-2\sqrt{xy}+ 2\sqrt{y}+(\sqrt{x}-1)^2-(\sqrt{x}-1)^2+2x- 6\sqrt{x}+2016 \\ =y- 2\sqrt{y}(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{x}-1)^2-x+2\sqrt{x}-1+2x- 6\sqrt{x}+2016 \\ =(\sqrt{y}-\sqrt{x}+1)^2+x-4\sqrt{x}+2015 \\ =(\sqrt{y}-\sqrt{x}+1)^2+(\sqrt{x}-2)^2+2011 \\ \ge 2011$

Dấu = \Leftrightarrow $\sqrt{y}-\sqrt{x}+1=\sqrt{x}-2=0$

\Leftrightarrow x = 4; y = 1.

 

[angleofdarkness]

1. Cho các số a,b,c bất kì khác 0 sao cho ac+bc+ 3ab < 0
Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:
[TEX](ax^2 + bx + c) (bx^2 + cx + a)(cx^2 + ax +b) = 0[/TEX]

Từ pt cho ta có $ax^2 + bx + c=0$ (1) hoặc $bx^2 + cx + a=0$ (2) hoặc $cx^2 + ax +b=0$ (3)

Có $\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3=b^2-4ac+c^2-4bc+a^2-4cb \\ =(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)-2(ab+bc+ca)$

Đề cho ac + bc + 3ab < 0 \Rightarrow $-(ab+bc+ca)>2ab$

\Rightarrow $\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3>(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)+2ab$

Dễ c/m $(a^2+b^2+c^2) \ge 2(ab+bc+ca)$ \Rightarrow $(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca) \ge 0$

\Rightarrow $\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3>2ab>0$ (do a; b > 0)

\Rightarrow \exists 1 trong 3 số $\Delta_1;\Delta_2;\Delta_3$ phải > 0

\Rightarrow \exists 1 trong 3 pt (1); (2); (3) có nghiệm

\Rightarrow đpcm.

 

[angleofdarkness]

2. Cho a,b,c là 2 số dương. CM: [TEX]\frac{a}{a^4 + b^4} + \frac{b}{b^4 +a^4} \leq \frac{1}{ab}[/TEX]

Đề sai, phải là $\dfrac{a^2}{a^4 + b^4} + \dfrac{b^2}{b^4 +a^4} \le \dfrac{1}{ab}$ nha bạn.

Ta có VT = $\dfrac{a^2+b^2}{a^4 + b^4}$

Mà $a^4 + b^4 \ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}$ nên $VT \le \dfrac{a^2+b^2}{\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}}=\dfrac{2}{a^2+b^2}$

Và $a^2+b^2 \ge 2ab$ nên $VT \le \dfrac{2}{2ab}=\dfrac{1}{ab}$

Dấu = \Leftrightarrow a = b > 0.

 

[embecuao]

Câu 2 mình chép nhầm. đề bài là thế này:

Cho a,b,c là 2 số dương. CM: [TEX]\frac{a}{a^4 + b^2} + \frac{b}{b^4 +a^2} \leq \frac{1}{ab}[/TEX]

 

[pl09]

Từ pt cho ta có $ax^2 + bx + c=0$ (1) hoặc $bx^2 + cx + a=0$ (2) hoặc $cx^2 + ax +b=0$ (3)

Có $\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3=b^2-4ac+c^2-4bc+a^2-4cb \\ =(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)-2(ab+bc+ca)$

Đề cho ac + bc + 3ab < 0 \Rightarrow $-(ab+bc+ca)>2ab$

\Rightarrow $\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3>(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)+2ab$

Dễ c/m $(a^2+b^2+c^2) \ge 2(ab+bc+ca)$ \Rightarrow $(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca) \ge 0$

\Rightarrow $\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3>2ab>0$ (do a; b > 0)

\Rightarrow \exists 1 trong 3 số $\Delta_1;\Delta_2;\Delta_3$ phải > 0

\Rightarrow \exists 1 trong 3 pt (1); (2); (3) có nghiệm

\Rightarrow đpcm.

Làm sao chứng minh đc như thế :-SS:-SS:-SS:-SS:-SS

 

[eye_smile]

Câu 2 mình chép nhầm. đề bài là thế này:

Cho a,b,c là 2 số dương. CM: [TEX]\frac{a}{a^4 + b^2} + \frac{b}{b^4 +a^2} \leq \frac{1}{ab}[/TEX]

Có $a^4+b^2 \ge 2a^2b$
\Rightarrow $\dfrac{a}{a^4+b^2} \le \dfrac{a}{2a^2b}=\dfrac{1}{2ab}$

TT với số còn lại, đc $\dfrac{b}{b^4+a^2} \le \dfrac{1}{2ab}$

Cộng theo vế \Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

4,BDT \Leftrightarrow $7(ab+bc+ca) \le 9abc+2$

Đặt $x=1-a;y=1-b;z=1-c$

\Rightarrow $x;y;z \ge 0$ và $x+y+z=2$

\Rightarrow BDT cần c/m \Leftrightarrow $7[(1-x)(1-y)+(1-y)(1-z)+(1-z)(1-x)] \le 2+9(1-x)(1-y)(1-z)$

\Leftrightarrow $7[3-2(x+y+z)+xy+zx+zy] \le 2+9[1-(x+y+z)+zy+xy+zx-xyz]$

\Leftrightarrow $10 \le 5(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-9xyz$

\Leftrightarrow $9xyz \le 2(xy+yz+zx)$

\Leftrightarrow $9xyz \le (xy+yz+zx)(x+y+z)$ %%-

AD AM-GM có:

$x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}$

$xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Nhân theo vế \Rightarrow %%- đúng

\Rightarrow đpcm