đại số khó ôn thi vào 10

[zeoprono1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện [TEX]x \geq 0, y \geq 0\geq [/TEX] và x+y=1
Chứng minh: [TEX]\frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} \geq \frac{2}{3}[/TEX]

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = [TEX]\frac{a^2}{1+a^4}[/TEX]

3. Trong hệ tọa độ xOy cho A(1;2) và B(1;4). Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng y=x sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

4. Cho x,y dương thỏa mãn: xy+ [TEX]\sqrt{(1+x^2)(1+y^2) } = \sqrt{2012}[/TEX]
Tính S= [TEX]x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2}[/TEX]

5. Tìm giá trị lớn nhất của A = [TEX](2x-x^2)(y-2y^2)[/TEX] với [TEX]0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}[/TEX]

6. Chứng minh rằng nếu |a| + |b| > 2 thì phương trình sau có nghiệm: [TEX]2ax^2[/TEX] + bx + 1 - a =0

 

[transformers123]

bài 1:
theo đề bài, ta có:
$1=a+b \ge 2\sqrt{xy} \rightarrow xy \le 0,25$
ta có:
$\dfrac{x}{y+1} + \dfrac{y}{x+1} = \dfrac{x^2}{xy+x} + \dfrac{y^2}{xy+y} \ge \dfrac{(x+y)^2}{2xy+x+y} \ge \dfrac{(1^2}{2.0,5+1}=\dfrac{3}{2}$
dấu "=" xảy ra khi $x=y=0,5$

 

[nguyenbahiep1]

1. Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện [TEX]x \geq 0, y \geq 0\geq [/TEX] và x+y=1
Chứng minh: [TEX]\frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} \geq \frac{2}{3}[/TEX]

[laTEX]VT = \frac{1-y}{y+1}+\frac{1-x}{x+1} = \frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}-2 \\ \\ \frac{2}{x+1} + \frac{8(x+1)}{9} \geq \frac{8}{3} \\ \\ \frac{2}{y+1} + \frac{8(y+1)}{9} \geq \frac{8}{3} \\ \\ \Rightarrow \frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1} + \frac{8}{9}(x+y+2) \geq \frac{16}{3} \\ \\ \Rightarrow \frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1} - 2 \geq \frac{16}{3} - \frac{8}{9}(x+y+2) - 2 = \frac{2}{3} [/laTEX]

dấu = xảy ra khi $x = y = \frac{1}{2}$

 

[nguyenbahiep1]

3. Trong hệ tọa độ xOy cho A(1;2) và B(1;4). Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng y=x sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

vẽ hình trên trục tọa độ và nhận thấy A,B nằm về cùng 1 phía với y = x

Chu vi tam giác ABC = CA + CB+AB nhỏ nhất khi CA + CB nhỏ nhất

Lấy A' đối xứng với A qua y = x và viết pt đường thẳng A'B cắt y = x ở đâu ta được điểm C cần tìm

 

[transformers123]

câu 2:
$\dfrac{a^2}{a^4+1} \le \dfrac{a^2}{2a^2} = \dfrac{1}{2}$
vậy GTLN của bt trên lả $\dfrac{1}{2}$ khi $x=1$

 

[congchuaanhsang]

. Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện [TEX]x \geq 0, y \geq 0\geq [/TEX] và x+y=1
Chứng minh: [TEX]\frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} \geq \frac{2}{3}[/TEX]

$VT=\dfrac{x^2}{xy+x}+\dfrac{y^2}{xy+y} \ge \dfrac{(x+y)^2}{2xy+x+y}=\dfrac{1}{2xy+1}$

Lại có $2xy \le \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

\Rightarrow $VT \ge \dfrac{2}{3}$

 

[congchuaanhsang]

5. Tìm giá trị lớn nhất của A = [TEX](2x-x^2)(y-2y^2)[/TEX] với [TEX]0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}[/TEX]

$A=x(2-x)y(1-2y)$

$=2[x(2-x)y(\dfrac{1}{2}-y)]$

\leq $2.\dfrac{(x+2-x+y+\dfrac{1}{2}-y)^4}{4^4}$ (Cauchy 4 số)

\Leftrightarrow $A \le 2.\dfrac{(2+\dfrac{1}{2})^4}{4^4}=.......$

 

[congchuaanhsang]

câu 2:
$\dfrac{a^2}{a^4+1} \le \dfrac{a^2}{2a^2} = \dfrac{1}{2}$
vậy GTLN của bt trên lả $\dfrac{1}{2}$ khi $x=1$

$a^4+1 \ge 2a^2$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a^4=1$

\Leftrightarrow $a=1$ hoặc $a=-1$

 

[congchuaanhsang]

4. Cho x,y dương thỏa mãn: xy+ [TEX]\sqrt{(1+x^2)(1+y^2) } = \sqrt{2012}[/TEX]
Tính S= [TEX]x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2}[/TEX]

$(xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)})^2=2012$

\Leftrightarrow $x^2y^2+(1+x^2)(1+y^2)+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=2012$

\Leftrightarrow $x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)+2x\sqrt{1+y^2}.y\sqrt{1+x^2}+1=2012$

\Leftrightarrow $(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2})^2=2011$

\Leftrightarrow $x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=\sqrt{2011}$

(vì x,y dương)

 

[eye_smile]

Làm nốt câu cuối:

PT có nghiệm \Leftrightarrow $b^2-8a(1-a) \ge 0$
\Leftrightarrow $b^2-8a+8a^2 \ge 0$

Cần cm $|a|+|b| >2$ thì điều trên đúng

Có : $|a|+|b| >2$
\Leftrightarrow $|b|>2-|a|$

%%- $2-|a|<0$
\Leftrightarrow $a>2$ hoặc $a<-2$

+a>2 thì $8a^2-8a>0$ \Rightarrow đpcm
+a<-2 thì $8a^2-8a>0$ \Rightarrow đpcm


%%- $2-|a| \ge 0$
\Rightarrow $b^2>a^2+4-4|a|$

\Rightarrow $\Delta >a^2+4-4|a|+8a^2-8a=9a^2-8a-4|a|+4$


+$0 \le a \le 2$
\Rightarrow $\Delta> (3a-2)^2 \ge 0$ \Rightarrow đpcm

+$-2 \le a <0$
\Rightarrow $\Delta> 9a^2-4a+4=(a-2)^2+8a^2 >0$

\Rightarrow đpcm