[Đại số] Đa thức

[soicon_boy_9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả đa thức P(x) sao cho:

$P(0)=0$ và $P(x^2+1)=P(x)^2+1$

 

[thinhrost1]

Không có đa thức thỏa mãn điều kiện trên......................

 

[vuive_yeudoi]

Tìm tất cả đa thức P(x) sao cho:

$P(0)=0$ và $P(x^2+1)=P(x)^2+1 \ \ (1)$

Thay $x=0$ vào $(1)$ có:
$$ P(0^2+1)=0^2+1 $$
Đặt: $x_1=0^2+1$ thì có:
$$ P(x_1)=x_1 $$
Bây giờ đặt: $x_2=x_{1}^{2}+1$, từ $(1)$ có:
$$ P(x_2)=P(x_{1}^{2}+1)=(P(x_1))^2+1 =x_{1}^{2}+1=x_2$$
Tiếp tục như vậy, theo quy nạp, lúc nào ta cũng có được:
$$ x_1 < x_2 < \ldots < x_n < \ldots $$
Với:
$$ x_n=x_{n-1}^{2}+1 $$
Như vậy đa thức: $$Q(t)=P(t)-t$$ sẽ có vô hạn nghiệm $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$

Tức là: $$ Q(t) \equiv 0 $$
Suy ra:$$ P(t)=t $$
Hay:$$\fbox{ P(x)=x } $$
Thử lại thấy $P(x)=x$ thỏa mọi yêu cầu của bài toán .

Đó cũng là đa thức duy nhất thỏa mãn đề bài.

 

[hotgirl2k]

Trả lời câu hỏi trên.

Chả có đa thức nào thỏa mãn điều kiện mà bạn nới trên cả.Có thể ra nhầm bài cũng nên.................

 

[vuive_yeudoi]

Không có đa thức thỏa mãn điều kiện trên......................

Chả có đa thức nào thỏa mãn điều kiện mà bạn nới trên cả.Có thể ra nhầm bài cũng nên.................

Tìm tất cả đa thức P(x) sao cho:

$P(0)=0$ và $P(x^2+1)=P(x)^2+1$

Với đa thức:
$$P(x)=x$$

Thì:
$$ P(0)=0 $$
$$ P(x^2+1)=x^2+1 $$
$$ P(x)=x $$
Và:
$$P(x^2+1)=x^2+1=(P(x))^2+1$$