Toán 8 [Đại số] Chứng minh bất đẳng thức.

[Nguyễn Trí]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh BĐT sau:
[tex]a) \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}< \frac{1}{2}[/tex]
[tex]b)1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{1.2.3}+...+\frac{1}{1.2.3.....n}< 2[/tex]

 

[nguyenhanh07030409]

[tex]a)VT= \frac{1}{2}.(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}) =\frac{1}{2}.(1-\frac{1}{2n+1}) =\frac{1}{2}.(\frac{2n}{2n+1}) Ta có \frac{2n}{2n+1}<1 => đpcm[/tex]

 

[realme427]

Chứng minh BĐT sau:
[tex]a) \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}< \frac{1}{2}[/tex]
[tex]b)1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{1.2.3}+...+\frac{1}{1.2.3.....n}< 2[/tex]

a,Đặt: $A=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+..+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
$\Rightarrow A=\frac{1}{2}(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{(2n-1)(2n+1)})$
$\Rightarrow A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
$\Rightarrow A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
$\Rightarrow A=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n-2}<\frac{1}{2}\Rightarrow đpcm$
b, Đặt: $B=\frac{1}{1}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{1.2.3}+...+\frac{1}{1.2.3...n}$
Ta có:
$\frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{1.2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{1.2.3.4}<\frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
...
$\frac{1}{1.2...n}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{1.2.3}+...+\frac{1}{1.2.3...n}<\frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
$\Rightarrow B<2-\frac{1}{n}\Rightarrow B<2$
PS: ghi giai thừa cho gọn