Toán Đại số 8

[Nguỵ Quân Tử]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Cho a,b,c là các số khác 0 và [tex]abc \neq \pm 1[/tex] và
[tex]\frac{ab + 1}{b} = \frac{bc + 1}{c} = \frac{ca + 1}{a}[/tex]
Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau

b) Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh rằng nếu [tex]2^{n} = 10a + b[/tex] ( a,b [tex]\epsilon[/tex] N, 0 < b < 10) thì tích ab chia hết cho 6

 

[iceghost]

a) ĐK : $a,b,c \ne 0$
$\dfrac{ab+1}b = \dfrac{bc+1}c$
$\iff abc + c = b^2c + b$
$\iff (abc - b^2c) = b - c$
$\iff bc(a - b) = b - c$
Tương tự ta cũng có $ca(b-c) = c - a$ và $ab(c-a) = a - b$
Nhân vế theo vế ta được
$a^2b^2c^2(a-b)(b-c)(c-a) = (a-b)(b-c)(c-a)$
$\iff (a-b)(b-c)(c-a)(a^2b^2c^2 - 1) =0$
Do $abc \ne \pm 1$ nên $a^2b^2c^2 - 1 \ne 0$
Khi đó $(a-b)(b-c)(c-a) = 0$. Tới đây bạn tự làm tiếp

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

b)[tex]n>3\Rightarrow 2^{n}\geq 2^{4}=16[/tex]
[tex]\Rightarrow 2^{n}[/tex] có thể tận cùng là 2,4,6,8 [tex]\Rightarrow b\in\left \{ 2;4;6;8 \right \}[/tex]
[tex]TH_{1}:b=2\Rightarrow 2^{n}=2^{4k+1}=10a+2\\\Leftrightarrow 2^{4k+1}-2=10a\\\Leftrightarrow 2(2^{4k}-1)=10a\\\Leftrightarrow 2^{4k}-1=5a\\(2^{4k}-1)\vdots 3\Rightarrow 5a\vdots 3\Rightarrow a\vdots 3\Rightarrow a.b=2a\vdots 6\\TH_{2}:b=4\Rightarrow 2^{n}=2^{4k+2}=10a+4\\\Leftrightarrow 2^{4k+2}-4=10a\\\Leftrightarrow 4(2^{4k}-1)=10a\Leftrightarrow 2(2^{4k}-1)=5a\\2(2^{4k}-1)\vdots 3 \ va \ 2(2^{4k}-1)\vdots 2\Rightarrow 2(2^{4k}-1)\vdots 6\Rightarrow 5a\vdots 6\Rightarrow a\vdots 6\Leftrightarrow a.b\vdots 6\\TH_{3}:b=6\Rightarrow 2^{n}=2^{4k}=10a+6\\\Leftrightarrow 2^{4k}-6=1a0\\\Leftrightarrow 2(2^{4k-1}-3)=10a\\(2^{4k-1}-3)\vdots 3\Rightarrow 2(2^{4k-1}-3)\vdots 6\Rightarrow 10a\vdots 6\Rightarrow a\vdots 6\Rightarrow a.b\vdots 6\\TH_{4}:b=8\Rightarrow 2^{n}=2^{4k+3}=10a+8\\\Leftrightarrow 2^{4k+3}-8=10a\\\Leftrightarrow 8(2^{4k}-1)=10a\\(2^{4k}-1)\vdots3\Rightarrow 8(2^{4k}-1)\vdots6\Rightarrow 10a\vdots6\Rightarrow a\vdots6\Rightarrow a.b\vdots6[/tex]
Vậy.....