[Đại số 8] Chứng minh đẳng thức

[katoriitto]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a+b+c = 0. CMR :
a, [TEX](a^2+b^2+c^2)^2 = 2(a^4+b^4+c^4)[/TEX]
b, [TEX]2(a^5 + b^5 + c^5)=5abc( a^2 + b^2 + c^2)[/TEX]
Bài 2 : CMR :
[TEX]1 + x + x^2 + x^3 + ........+ x^{31} = (1+x)(1+x^2)(1+x^4).......(1+x^{16}) [/TEX]
Bài 3 : CMR:
a, Nếu [TEX](a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax + by)^2[/TEX]
thì [TEX]\frac{a}{x} = \frac{b}{y} \forall x,y \not= 0 [/TEX]
b, Nếu [TEX](a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2[/TEX]
thì [TEX]\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} \forall x,y,z \not= 0[/TEX]

 

[nhi8a]

Bài 1: câu b)

Mình chỉ giúp bạn được câu b bài 1 mà thôi, cho mình xin lỗi
Theo đề bài: a+b+c = 0
\Rightarrow a+b= -c
\Rightarrow(a+b)^5 = (-c)^5
a5 +5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = (-c)5
\Rightarrow a5 + b5 +c5 = -5a4b - 10a3b2 - 10a2b3 - 5ab4
= -5ab *( a3 +2a2b + 2ab2 +b3)
= -5ab *( (a3 +b3 ) + ( 2a2b + 2ab2) )
= -5ab *( (a + b )*(a2 - ab +b2 ) + 2ab*( a+b) )
= -5ab *( (a+b) * (a2 -ab b2 + 2ab) )
= -5ab *( (a+b) * (a2 + ab + b2) )
= -5ab * (-c) *( a2 +ab +b2)
= 5abc* (a2 +ab+b2)
\Rightarrow 2*( a5+b5+c5)= 5abc*( 2a2+2ab+2b2)
= 5abc*( ( a2 + 2ab + b2) + a2 +b2)
= 5abc*( (a+b)2 +a2 +b2)
= 5abc*( (-c)2 +a2 +b2)
= 5abc*(a2 +b2 +c2)
Vậy: VP= VT \Rightarrow Điều phải chứng minh

 

[chonhoi110]

Bài 1
a. Ta có: $a+b+c=0$ => $b+c =-a$
=> $(b+c)^2 = (-a)^2$
=> $b^2 + c^2 +2bc = a^2$
=> $b^2 + c^2 -a^2 = -2bc$

=> $(b^2 + c^2 - a^2)^2 = (2bc)^2$
<=> $b^4 + c^4 + a^4 +2b^2c^2 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 = 4b^2c^2$
<=> $a^4 + b^4 + c^4 = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2$
<=> $2(a^4 + b^4 + c^4) =a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2$
<=> $2(a^4 + b^4 + c^4 ) =(a^2 + b^2 + c^2)^2$

 

[chonhoi110]

Bài 3:
b. $(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2$

<=>$a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz$

<=>$a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2axby-2axcz-2bycz=0$

<=>$(a^2y^2-2axby+b^2x^2)+(a^2z^2-2axcz+c^2x^2)+(b^2z^2-2bycz+c^2y^2)=0$

<=>$(ay-by)^2+(az-cx)^2+(bz-by)^2=0$

<=>$\left\{\begin{matrix}ay-by=0\\ az-cx=0\\ bz-by=0\end{matrix}\right.$<=>$\left\{\begin{matrix}ay=by\\ az=cx\\ bz=by \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\ \dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{z}\\ \dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z} \end{matrix}\right.$<=>$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$

 

[chonhoi110]

Bài 3:
a) $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax + by)^2$
<=>$a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+2axby$
<=>$a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-b^2y^2-2axby=0$
<=>$a^2y^2-2axby+b^2x^2=0$
<=>$(ay-bx)^2=0$
<=>$ay=bx$
<=>$\dfrac{a}{z}=\dfrac{b}{y}$

 

[hoamattroi_3520725127]

Bài 2 :

Đặt $A = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)....(1 + x^{16})$

$\rightarrow(1 - x)A = 1 - x^{32}$ (bạn cứ biến đổi dần theo HĐT : $a^2 - b^2$ = (a - b)(a + b) là ra nhé! )

$\rightarrow A = \dfrac{1 - x^{32}}{1 - x} = 1 + x^2 + x^3 + .... + x^{31}$