[Đại số 10] Chứng minh bất đẳng thức

[katoriitto]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x \geq 0; y \geq 0. CMR :
[TEX] x^3 + y^3 \geq x^2y + y^2x[/TEX]

( Giải bằng AM-GM 2 số, 3 số và bằng tích vô hướng)

 

[eye_smile]

$x^3+x^3+y^3 \ge 3x^2y$

$y^3+y^3+x^3 \ge 3xy^2$

\Rightarrow $3x^3+3y^3 \ge 3(x^2y+xy^2)$

\Rightarrow đpcm

Cách khác:

BDT \Leftrightarrow $(x+y)(x^2-xy+y^2) \ge xy(x+y)$

Có $x^2+y^2 \ge 2xy$

\Leftrightarrow $x^2+y^2-xy \ge xy$

\Rightarrow đpcm.

 

[demon311]

$x^3+x^3+y^3 \ge 3x^2y$

$y^3+y^3+x^3 \ge 3xy^2$

\Rightarrow $3x^3+3y^3 \ge 3(x^2y+xy^2)$

\Rightarrow đpcm

Cách khác:

BDT \Leftrightarrow $(x+y)(x^2-xy+y^2) \ge xy(x+y)$

Có $x^2+y^2 \ge 2xy$

\Leftrightarrow $x^2+y^2-xy \ge xy$

\Rightarrow đpcm.

Kiểu tích vô hướng:

Đặt $\overrightarrow{ u}=(x^2;y^2) \\
\overrightarrow{ v}=(y;x)$

$\overrightarrow{ u}\overrightarrow{ v} \le |\overrightarrow{ u}||\overrightarrow{ v}| \\
x^2y+y^2x \le \sqrt{ x^4+y^4}\sqrt{ y^2+x^2}$

Lại có theo Cauchy-Swarchz:

$\sqrt{ x^4+y^4}\sqrt{ y^2+x^2}=\sqrt{ x^4+y^4}\sqrt{ x^2+y^2} \le x^3+y^3$

Dẫn đến dpcm

Dấu bằng xảy ra khi cả 2 bđt xảy ra

AM-GM 3 số:

$x^3+x^2y+xy^2 \ge 3\sqrt{ x^6y^3}=3x^2y \\
y^3+x^2y+xy^2 \ge 3\sqrt{ x^3y^6}=3xy^2 \\
\rightarrow x^3+y^3 \ge x^2y+xy^2$

 

[thaygiaotoanhoc]

Kiểu tích vô hướng:

Đặt $\overrightarrow{ u}=(x^2;y^2) \\
\overrightarrow{ v}=(y;x)$

$\overrightarrow{ u}\overrightarrow{ v} \le |\overrightarrow{ u}||\overrightarrow{ v}| \\
x^2y+y^2x \le \sqrt{ x^4+y^4}\sqrt{ y^2+x^2}$

Lại có theo Cauchy-Swarchz:

$\sqrt{ x^4+y^4}\sqrt{ y^2+x^2}=\sqrt{ x^4+y^4}\sqrt{ x^2+y^2} \le x^3+y^3$

Dẫn đến dpcm

Dấu bằng xảy ra khi cả 2 bđt xảy ra

AM-GM 3 số:

$x^3+x^2y+xy^2 \ge 3\sqrt{ x^6y^3}=3x^2y \\
y^3+x^2y+xy^2 \ge 3\sqrt{ x^3y^6}=3xy^2 \\
\rightarrow x^3+y^3 \ge x^2y+xy^2$

Chỗ bôi đỏ bị sai.
Xét $f(x)=x^3-x^2y-y^2x+y^3$
$f'(x)=3x^2-2xy-y^2=0$
$\Delta' = y^2+3y^2=4y^2\ge 0$ nên $x=\dfrac{y+2y}{3}=y$
Lại có $f''(y)=4y\ge 0$ nên $f(x)\ge f(y)=0$
Ta có điều phải chứng minh

 

[huynhbachkhoa23]

Giả sử $x\ge y$ thì ta có phép đặt $x=a+b, y=a$ với $a,b\ge 0$
Khi đó bất đẳng thức trở thành: $(a+b)^3+a^3\ge (a+b)^2a+a^2(a+b)$
$\leftrightarrow b^2(2a+b)\ge 0$ luôn đúng.