Đại nâng cao? khó

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $x+4y= 1$. C/m $x^2 + 4y^2$\geq $\dfrac{1}{5}$
2. C/m $A= \dfrac{n}{12} + \dfrac{n^2}{8} + \dfrac{n^3}{24}\in Z$ với \forall n chẵn

 

[khaiproqn81]

Đặt $n=2k (k \in \mathbb{Z})$

$\Rightarrow \dfrac{n}{12}+\dfrac{n}{8}+\dfrac{n}{24} \\ = \dfrac{2k}{12}+\dfrac{2k}{8}+\dfrac{2k}{24}=\dfrac{k}{6}+\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{12} \\ =\dfrac{2k+3k+k}{12}=\dfrac{k}{2} =\dfrac{\dfrac{n}{2}}{2}=\dfrac{n}{{4}} \in \mathbb{Z} \: \: \: \forall \: \: n \in \mathbb{Z}$

Bác thánh gì, chém gió ak
@transformers123: Đề sai khi n=2, bác thử lại đi
@trinhminh18: với n=2 thì đề vẫn đúng mà, bác transformers123 thử kỉu chi zậy ợ ???

 

[transformers123]

1/ ta có: $x+4y=1\ \rightarrow x=1-4y$
$\Longrightarrow x^2+4y^2=(1-4y)^2+4y^2\\=20y^2-8y+1\\=20y^2-8y+\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}\\=(2y\sqrt{5}+\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2+\dfrac{1}{5} \ge \dfrac{1}{5}$
dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}2y\sqrt{5}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}=0\\x+4y=1\end{cases}\ \rightarrow (x;y)=(\dfrac{9}{4};\dfrac{-1}{5})$
Ok=))

 

[z0987654321]

1. Cho $x+4y= 1$. C/m $x^2 + 4y^2$\geq $\dfrac{1}{5}$
2. C/m $A= \dfrac{n}{12} + \dfrac{n^2}{8} + \dfrac{n^3}{24}\in Z$ với \forall n chẵn

=>$A=\dfrac{2n+3n^2+n^3}{24}$ (*)
ta có $2n+3n^2+n^3=n(n+1)(n+2)$
do n chẵn nên n, n+2 là 2 số nguyên chẵn liên tiếp =>n(n+2)chia hết cho 8 =>n(n+1)(n+2) chia hết cho 8 (1)
do n thuộc Z nên n , n+1 , n+2 là 3 số nguyên liên tiếp =>n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 (2)
từ (1) và (2) => n(n+1)(n+2) chia hết cho 24 kết hợp với (*) => ĐPCM