T
tuananh8
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Mình xin đưa ra một số dạng toán hay và khó trong trương trình THCS và cách giải chúng. Mong các bn cùng thảo luận nhiệt tình.
Trước tiên mình xin đưa ra phương pháp hoán vị vòng quanh:
Phương pháp này dựa vào một số nhận xét sau đây :
1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a.
Bài toán 1 : Phân tích thành nhân tử :
[tex]F(a, b, c)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)[/tex]
Nhận xét : Khi a = b ta có :
[tex]F(a, b, c)=a^2(a-c)+a^2(c-a)=0[/tex].Do đó F(a, b, c) chứa nhân tử a-b.
Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a).
Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có :
1+1=k.1.1.(-2) => k=-1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a).
Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử :
[tex]F(a, b, c)=a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)[/tex]
Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a. Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c). Do đó :
F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).
2/ Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) khác 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a.
Bài toán 3 : Chứng minh rằng :
Nếu [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{x+y+z}[/tex] thì:
[tex]\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}+\frac{1}{z^n}=\frac{1}{x^n+y^n+z^n}[/tex] vơí mọi số nguyên lẻ n.
Từ giả thiết [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{x+y+z}[/tex] => (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = 0 (1)
Do đó ta thử phân tích biểu thức
F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử.
Khi x=-y thì F(a, b, c)=0 nên F(x, y, z) chứa nhân tử x + y.tương tự, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z).
Do đó (1) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) = 0
Tương đương với : x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0 .
Nếu x + y = 0 chẳng hạn thì x = - y và do n lẻ nên [tex]x^n=-y^n[/tex]
=> [tex]\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}+\frac{1}{z^n}=\frac{1}{x^n+y^n+z^n}[/tex]
Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta có đpcm.
Có những khi ta phải linh hoạt hơn trong tình huống mà hai nguyên tắc trên không thỏa mãn :
Bài toán 4 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
[tex]a^3+b^3+c^3-3abc[/tex]
Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nhưng nếu thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z. Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được thương [tex]x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx[/tex] và dư là 0.
=> [tex]F(a, b, c)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]
Trước tiên mình xin đưa ra phương pháp hoán vị vòng quanh:
Phương pháp này dựa vào một số nhận xét sau đây :
1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a.
Bài toán 1 : Phân tích thành nhân tử :
[tex]F(a, b, c)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)[/tex]
Nhận xét : Khi a = b ta có :
[tex]F(a, b, c)=a^2(a-c)+a^2(c-a)=0[/tex].Do đó F(a, b, c) chứa nhân tử a-b.
Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a).
Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có :
1+1=k.1.1.(-2) => k=-1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a).
Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử :
[tex]F(a, b, c)=a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)[/tex]
Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a. Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c). Do đó :
F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).
2/ Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) khác 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a.
Bài toán 3 : Chứng minh rằng :
Nếu [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{x+y+z}[/tex] thì:
[tex]\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}+\frac{1}{z^n}=\frac{1}{x^n+y^n+z^n}[/tex] vơí mọi số nguyên lẻ n.
Từ giả thiết [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{x+y+z}[/tex] => (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = 0 (1)
Do đó ta thử phân tích biểu thức
F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử.
Khi x=-y thì F(a, b, c)=0 nên F(x, y, z) chứa nhân tử x + y.tương tự, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z).
Do đó (1) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) = 0
Tương đương với : x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0 .
Nếu x + y = 0 chẳng hạn thì x = - y và do n lẻ nên [tex]x^n=-y^n[/tex]
=> [tex]\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}+\frac{1}{z^n}=\frac{1}{x^n+y^n+z^n}[/tex]
Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta có đpcm.
Có những khi ta phải linh hoạt hơn trong tình huống mà hai nguyên tắc trên không thỏa mãn :
Bài toán 4 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
[tex]a^3+b^3+c^3-3abc[/tex]
Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nhưng nếu thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z. Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được thương [tex]x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx[/tex] và dư là 0.
=> [tex]F(a, b, c)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]
>-