[Đại 8] Chứng minh khó

[yubin_cute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng
1) [TEX]a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)[/TEX]
2) [TEX]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/TEX]
Suy ra các kết quả:
a)Nếu [TEX]a^3+b^3+c^3[/TEX]=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c
b)Cho [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]=0, tính A=[TEX]\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}[/TEX]

 

[thupham22011998]

1) [TEX]a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)[/TEX]
[TEX]VP=(a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2-3a^2b-3ab^2=a^3+b^3=VT[/TEX]
2) [TEX]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/TEX]
[TEX]VT=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3abc-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)=VP[/TEX]

 

[thupham22011998]

a)Nếu [TEX]a^3+b^3+c^3[/TEX]=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c
Ta có:
[TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a+b+c=0[/TEX]

 

[thuong_000]

Đầu tiên ta cần chứng minh : Nếu x+y+z=0 thì x^3+y^3+z^3 =3zyz(bạn tự chứng minh nha )
Áp dụng vào bài toán đã cho:
\Rightarrow $\frac{1}{a^3}$+$\frac{1}{b^3}$+$\frac{1}{c^3}$=3/abc
Do đó : A=$\frac{ab}{c^2}$+$\frac{bc}{a^2}$+$\frac{ca}{b^2}$=$\frac{abc}{a^3}$+$\frac{bca}{b^3}$+$\frac{abc}{a^3}$
=abc($\frac{1}{a^3}$+$\frac{1}{b^3}$+$\frac{1}{c^3}$)=abcx$\frac{3}{abc}$=3
Vậy A=3

 

[eye_smile]

Từ ($2$)$ \to $ Với $x+y+z=0$ thì ${x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz$
AD vào bài :$\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} = \dfrac{3}{{abc}}$
$ \to A = \dfrac{{ab}}{{{c^2}}} + \dfrac{{bc}}{{{a^2}}} + \dfrac{{ac}}{{{b^2}}} = \dfrac{{abc}}{{{c^3}}} + \dfrac{{abc}}{{{a^3}}} + \dfrac{{abc}}{{{b^3}}} = abc\left( {\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}}} \right) = abc.\dfrac{3}{{abc}} = 3$