Nếu như tồn tại ít nhất [imath]1[/imath] trong [imath]2[/imath] đa thức [imath]f(x),g(x)[/imath] vô nghiệm thì ta có đpcm.
Nếu cả [imath]2[/imath] đa thức [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath] có nghiệm. Xét [imath]x_1<x_2[/imath] và [imath]y_1<y_2[/imath] lần lượt là nghiệm của [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath].
Khi đó [imath]\left[\begin{array}{l} f(x)=y_1 \\ f(x)=y_2 \\ g(x)=x_1 \\ g(x)=x_2 \end{array}\right.[/imath] đều vô nghiệm.
Xét hệ số bậc cao nhất của [imath]f[/imath] dương. (các trường hợp khác xét tương tự)
+ Nếu hệ số bậc cao nhất của [imath]g[/imath] dương.
Khi đó [imath]f(g(x))=0[/imath] vô nghiệm [imath]\Leftrightarrow g(x) > x_2 \forall x[/imath]
[imath]g(f(x))=0[/imath] vô nghiệm [imath]\Leftrightarrow f(x) > y_2 \forall x[/imath]
Đặt [imath]m=\max \lbrace{ x_2,y_2 \rbrace}[/imath] thì một trong [imath]2[/imath] đa thức [imath]f(x),g(x)[/imath] lớn hơn [imath]m[/imath] với mọi [imath]x[/imath].
Không mất tính tổng quát giả sử [imath]m=x_2[/imath] thì ta có [imath]g(x)>x_2>y_2 \forall x \Rightarrow g(g(x))[/imath] vô nghiệm.
+ Nếu hệ số bậc cao nhất của [imath]g[/imath] âm.
Khi đó [imath]f(g(x))=0[/imath] vô nghiệm [imath]\Leftrightarrow g(x) < x_1 \forall x[/imath]
[imath]g(f(x))=0[/imath] vô nghiệm [imath]\Leftrightarrow f(x) >y_2 \forall x[/imath]
Vì cả [imath]f(x)[/imath] và [imath]g(x)[/imath] đều có nghiệm nên [imath]x_1 > 0[/imath], [imath]y_2<0[/imath]
[imath]\Rightarrow x_2>x_1>0>y_2>y_1[/imath]
Từ đó ta thấy [imath]f(f(x))[/imath] và [imath]g(g(x))[/imath] sẽ có nghiệm.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Xét dấu của hàm bằng cách xét trục số
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
