Câu 2: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực [imath]\mathrm{P}(\mathrm{x})[/imath] sao cho:
[imath]P^{2}(x)+2 x^{2}=P\left(x^{2}\right)-2 x P(-x)[/imath] với mọi [imath]x \in R[/imath]
Giải:
Thay [imath]x \rightarrow-x \rightarrow P^{2}(-x)+2 x^{2}=P\left(x^{2}\right)+2 x P(x)[/imath]
Lấy vế trừ vế với giả thiết ta được:
[math]\begin{gathered}
P^{2}(x)-P^{2}(-x)+2 x P(-x)+2 x P(x)=0 \\
\rightarrow-P(x)=P(-x) \text { hoặc } P(x)-P(-x)+2 x=0
\end{gathered}[/math](luôn suy ra được tại đa thức có vô hạn nghiệm thì sẽ luôn đúng với mọi [imath]R[/imath] )
TH1: [imath]P(-x)=-P(x)[/imath]
Thay vào giả thiết ta có: [imath]P^{2}(x)+2 x^{2}=P\left(x^{2}\right)+2 x P(x)[/imath]
[math]\rightarrow(P(x)-x)^{2}=P\left(x^{2}\right)-x^{2}[/math]Đặt [imath]Q(x)=P(x)-x \rightarrow Q^{2}(x)=Q\left(x^{2}\right)[/imath] (1)
[imath]+[/imath] Xét [imath]Q(x)=c \rightarrow c^{2}=c \rightarrow c=0[/imath] hoặc [imath]c=1[/imath]
[imath]\rightarrow P(x)=x[/imath] hoă̆c [imath]P(x)=x+1[/imath]
Mà [imath]P(-x)=-P(x) \rightarrow P(x)=x[/imath]
Thử lại thỏa mãn
[imath]+\operatorname{deg} Q=n[/imath]
Giả sử tồn tại [imath]i<n[/imath] sao cho
[math]Q(x)=a_{n} x^{n}+a_{i} x^{i}+\cdots\left(a_{n}, a_{i} \neq 0\right)[/math]Đồng nhất hệ số bậc [imath]n+i[/imath] của (1) ta có [imath]2 a_{n} a_{i}=0 \rightarrow[/imath] vô lý
Vậy [imath]Q(x)=a_{n} x^{n} \rightarrow[/imath] đồng nhất hệ số bậc [imath]2 n[/imath] ta có: [imath]a_{n}=1[/imath]
[math]\rightarrow P(x)=x^{n}+x[/math]Kết hợp [imath]P(x)=-P(-x) \rightarrow \mathrm{n}[/imath] lẻ
TH2: [imath]P(-x)=P(x)+2 x[/imath]
[math]\rightarrow P^{2}(x)+2 x^{2}=P\left(x^{2}\right)-2 x P(x)-4 x^{2}[/math][math]\rightarrow(P(x)+x)^{2}=P\left(x^{2}\right)+x^{2}-6 x^{2}[/math]Đặt [imath]Q(x)=P(x)+x[/imath]
Suy ra [imath]Q^{2}(x)=Q\left(x^{2}\right)-6 x^{2}[/imath]
Xét [imath]Q(x)=c \rightarrow[/imath] vô lý
[math]Q(x)=a x+b \rightarrow a^{2} x^{2}+2 a x+b^{2}=(a-6) x^{2}+b \rightarrow a=0 \text { (loại) }[/math]Giả sử tồn tại [imath]i[/imath] sao cho [imath]Q(x)=a_{n} x^{n}+a_{i} x^{i}+\cdots(n \geq 2)[/imath]
[math]i=0 \rightarrow a_{n}^{2} x^{2 n}+2 a_{n} a_{0} x^{n}+a_{0}^{2}=a_{n} x^{2 n}+a_{0}-6 x^{2}[/math][imath]\rightarrow n=2 ; a_{n}=a_{0}=1 ; a_{n} a_{0}=-6[/imath] (vô lý)
[imath]i \geq 1 \rightarrow n+i \geq 3[/imath]
Đồng nhất hệ số bậc [imath]n+i \rightarrow a_{i}=0[/imath] (vô lý)
Vậy giả sử sai [imath]\rightarrow Q(x)=a_{n} x^{n}(n \geq 2) \rightarrow[/imath] vô lý
Gửi bạn tham khảo tạm nhé ^^
Nogiaf ra mời bạn tham khảo tại:
Đại số cơ bản lớp 10
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
