Toán 9 Cực trị

[Edgarnguyen248]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các cặp số thực (x; y) thỏa mãn: [imath]2x + y - xy = 1[/imath] (*). Gọi các cặp số [imath](a;b)[/imath] và [imath](m; n)[/imath] thỏa mãn đẳng thức (*) sao cho [imath]a > 1 > m.[/imath] Tìm GTNN [math]P = (a - m)^2 + (b - n)^2[/math]

 

[7 1 2 5]

Từ biểu thức ban đầu ta có: [imath]xy-2x-y=-1 \Rightarrow (x-1)(y-2)=1 \Rightarrow \begin{cases} (a-1)(b-2)=1 \\ (1-m)(2-n)=1 \end{cases}[/imath]
Đặt [imath]a-1=x, 1-m=y (x,y >0)[/imath] thì từ giả thiết ta có [imath]\begin{cases} b-2=\dfrac{1}{x} \\ 2-n=\dfrac{1}{y} \end{cases}[/imath]
[imath]\Rightarrow P=[(a-1)+(1-m)]^2+[(b-2)+(2-n)]^2=(x+y)^2+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2[/imath]
[imath]=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2(xy+\dfrac{1}{xy}) \geq 2+2+2 \cdot 2=8[/imath]
Dấu "=" xảy ra [imath]\Leftrightarrow x=y=1 \Leftrightarrow \begin{cases} (a,b)=(2,3) \\ (m,n)=(0,1) \end{cases}[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức