Toán 9 Cực trị

[nene2020]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c \epsilon R+$ thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$
Tìm min của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

[Lê Tự Đông]

Cho $a,b,c \epsilon R+$ thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$
Tìm min của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=1$
=> $(a+b+c)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)^{2} = 1$
$1=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) \leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca+a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca+a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)^{3}}{27} = \frac{27(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}}{27} = (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$
=> $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geq 1 $
=> $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 1$