Toán 9 Cực trị

[quangthinh347]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực không âm sao cho a+b+c=3

Tìm GTLN của

P=a√(b^3+1)+b√(c^3+1)+c√(a^3+1)

 

[hoàng085]

bạn viết lại đề rõ hơn được ko mình ko hiểu lắm mình lỡ ấn gửi trả lời thôi

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Bài này điểm rơi khó quá, lúc đầu nghĩ theo hướng này mà nhận ra điểm rơi không đúng.
Áp dụng bđt AM-GM:
[tex]P=\sum_{cyc}^{}a\sqrt{b^{3}+1}=\sum_{cyc}^{}a\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}\leqslant \sum_{cyc}^{}a.\frac{(b+1)+(b^{2}-b+1)}{2}=\sum_{cyc}^{}a(\frac{b^{2}}{2}+1)[/tex]
[tex]\Rightarrow P\leqslant \frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+a+b+c=\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{2(a+b+c)}+3[/tex] [tex]\leqslant \frac{abc(a+b+c)}{2(a+b+c)}+3[/tex]
Giúp với!

 

[Lê.T.Hà]

Bạn cần để ý rằng [tex]a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leq \frac{1}{2}a(b^2+2)[/tex] có tới 3 khả năng xảy ra dấu "=": [tex]a=0[/tex] hoặc [tex]b=0[/tex] hoặc [tex]b=2[/tex]
Tiếp theo BĐT ở dạng hoán vị biến nên ko mất tính tổng quát, ta có thể giả sử [tex]a=mid\left \{ a;b;c \right \}[/tex]
[tex]\Rightarrow (a-b)(a-c)\leq 0\Leftrightarrow a^2+bc\leq ab+ac\Leftrightarrow a^2c+bc^2\leq abc+ac^2[/tex]
Do đó:
[tex]ab^2+bc^2+ca^2\leq ab^2+ac^2+abc\leq ab^2+ac^2+2abc=a(b+c)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2a+2b+2c}{27} \right )^3[/tex]