Toán 12 Cực trị thể tích

[Nhật Nhật Đặng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ mn giúp mình bài cực trị thể tích khá khoai sắn này nhé
Cho hình chóp S.ABC có SA=1,SB=2,SC=3. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh bên lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T=1/SM^2 +1/SN^2 +1/SP^2

 

[iceghost]

Mấy bài cho tỉ lệ rồi mặt phẳng thiết diện cắt qua thì cũng chỉ có một kiểu thôi nhỉ?

Giả sử M thuộc SA, N thuộc SB, P thuộc SC

Có $\dfrac{V_{S.MIN}}{V_{S.AGB}} = \dfrac{SM}{SA} \cdot \dfrac{SI}{SG} \cdot \dfrac{SN}{SB}$
$\dfrac{V_{S.NIP}}{V_{S.BGC}} = \dfrac{SN}{SB} \cdot \dfrac{SI}{SG} \cdot \dfrac{SP}{SC}$
$\dfrac{V_{S.PIM}}{V_{S.CGA}} = \dfrac{SP}{SC} \cdot \dfrac{SI}{SG} \cdot \dfrac{SM}{SA}$

Cộng lại suy ra $\dfrac{SM}{SA} \cdot \dfrac{SI}{SG} \cdot \dfrac{SN}{SB} + \ldots = \dfrac{V_{S.MNP}}{\dfrac13 V_{S.ABC}} = \dfrac{3SM}{SA} \cdot \dfrac{SN}{SB} \cdot \dfrac{SN}{SC}$
Suy ra $\dfrac{SA}{SM} + \dfrac{SB}{SN} + \dfrac{SC}{SN} = \dfrac{3SG}{SI} = 6$
Tức $\dfrac{1}{SM} + \dfrac{2}{SN} + \dfrac{3}{SN} = 6$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki thì $(1 + 4 + 9)(\dfrac1{SM^2} + \dfrac1{SN^2} + \dfrac1{SP^2}) \geqslant (\dfrac1{SM} + \dfrac2{SN} + \dfrac3{SP})^2 = 16$
Suy ra $T \geqslant \dfrac{8}7$