Toán 12 Cực trị thể tích

Nhật Nhật Đặng

Học sinh
Thành viên
5 Tháng chín 2017
148
34
36
19
Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ mn giúp mình bài cực trị thể tích khá khoai sắn này nhé
Cho hình chóp S.ABC có SA=1,SB=2,SC=3. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh bên lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T=1/SM^2 +1/SN^2 +1/SP^2
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,460
891
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Mấy bài cho tỉ lệ rồi mặt phẳng thiết diện cắt qua thì cũng chỉ có một kiểu thôi nhỉ? :D

Giả sử M thuộc SA, N thuộc SB, P thuộc SC

Có $\dfrac{V_{S.MIN}}{V_{S.AGB}} = \dfrac{SM}{SA} \cdot \dfrac{SI}{SG} \cdot \dfrac{SN}{SB}$
$\dfrac{V_{S.NIP}}{V_{S.BGC}} = \dfrac{SN}{SB} \cdot \dfrac{SI}{SG} \cdot \dfrac{SP}{SC}$
$\dfrac{V_{S.PIM}}{V_{S.CGA}} = \dfrac{SP}{SC} \cdot \dfrac{SI}{SG} \cdot \dfrac{SM}{SA}$

Cộng lại suy ra $\dfrac{SM}{SA} \cdot \dfrac{SI}{SG} \cdot \dfrac{SN}{SB} + \ldots = \dfrac{V_{S.MNP}}{\dfrac13 V_{S.ABC}} = \dfrac{3SM}{SA} \cdot \dfrac{SN}{SB} \cdot \dfrac{SN}{SC}$
Suy ra $\dfrac{SA}{SM} + \dfrac{SB}{SN} + \dfrac{SC}{SN} = \dfrac{3SG}{SI} = 6$
Tức $\dfrac{1}{SM} + \dfrac{2}{SN} + \dfrac{3}{SN} = 6$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki thì $(1 + 4 + 9)(\dfrac1{SM^2} + \dfrac1{SN^2} + \dfrac1{SP^2}) \geqslant (\dfrac1{SM} + \dfrac2{SN} + \dfrac3{SP})^2 = 16$
Suy ra $T \geqslant \dfrac{8}7$
 
  • Like
Reactions: Ngoc Anhs
Top Bottom