- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Các bài cực trị trong không gian, cụ thể là bài toán khoảng cách max,min với đường thẳng và mặt phẳng đã cố định, đã trở nên quen thuộc. Tuy nhiên nếu bài toán đó họ thêm một tham số vào thì sao?
Xem ví dụ dưới đây:
Cho mặt phẳng (P) có phương trình : [TEX]x+my+(2m-2)z-m+1=0[/TEX] và điểm M(0;-4;-3). Khi khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là lớn nhất. Hãy tìm tọa độ hình chiếu của M xuống (P).
Bài toán có mp (P) thay đổi theo tham số m, vậy thì làm sao để có thể đánh giá? Ta nhớ lại bài toán quen thuộc :
Với M và đường thẳng d đã cho trước, viết phương trình (P) chứa d và thỏa mãn [TEX]d(M;(P))[/TEX] là max.
Hoặc là với M và K cho trước, viết ptmp (P) chứa K thỏa mãn [TEX]d(M;(P))[/TEX] là max. Thì chung quy lại đều là hình vẽ mô tả quen thuộc trên. Max đạt tại MK khi K là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Vậy với bài toán này, rõ ràng (P) cũng phải đi qua một cái gì đó cố định như điểm K, thì mới tìm được max.
Các bạn hay nhẩm nghiệm thì dễ dàng nhận ra ngay: (x;y;z)=(1;-1;1) là nghiệm thỏa mãn pt [TEX]x+my+(2m-2)z-m+1=0[/TEX] . Vậy rõ ràng (P) luôn đi qua K(1;-1;1) với mọi giá trị M. Và max khi MK vuông góc với (P). Khi đó tọa độ hình chiếu của M lên (P) chính là tọa độ của K(1;-1;1) . Tưởng như bài toán phức tạp nhưng mà thực ra rất đơn giản.
Đến đây nếu ai tự hỏi : vậy cho tọa độ M thì chả liên quan gì à? Không, tuy không dùng đến nhưng tọa độ M được cho để làm bài toán chặt chẽ. Ta phải kiểm thử xem liệu MK có thể là vecto pháp tuyến của (P) hay không?
Ta có : [tex]\overrightarrow{MK}=(1;3;4)[/tex]
[TEX]\overrightarrow{MK}[/TEX] là vtpt của (P) khi [TEX]n_P=(1;m;2m-2)[/TEX]cùng phương với (P)
<=>[tex]\frac{1}{1}=\frac{m}{3}=\frac{2m-2}{4}<=>m=3[/tex] , tồn tại giá trị m thỏa mãn, vậy K có thể là hình chiếu.
Nếu giả sử M(2;2;3) thì có thể giải pt ta sẽ thấy không có giá trị m nào thỏa mãn điều kiện cùng phương cả. Nhưng các bạn cứ yên tâm không phải kiểm thử, bởi nếu gặp dạng này thì người ra đề chắc chắn đã cho điều kiện cùng phương có thể xảy ra. Nếu không bài toán trở nên rất phức tạp.
Trong trường hợp ta không biết gì về nhẩm điểm cố định và vẫn muốn làm, thì đương nhiên vẫn có cách, đó là sử dụng công thức khoảng cách :
[tex]d(M;(P))=\frac{|-11m+7|}{\sqrt{1+m^2+(2m-2)^2}}[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{\frac{1+m^2+(2m-2)^2}{(7-11m)^2}}}[/tex]
Khoảng cách này max khi mẫu là min, vì tử số đã cố định. Vậy ta tìm min của :
[TEX]\frac{1+m^2+(2m-2)^2}{(7-11m)^2}[/TEX], đạo hàm tìm cực trị sẽ được min tại m=3. Khi đó thay m = 3 vào ptmp (P) và tìm hình chiếu thì vẫn được kết quả K(1;-1;1)
Với bài toán tìm khoảng cách max từ điểm M đến đường thẳng d không cố định.
Cho điểm M(1;0;2) và đường thẳng d: [tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-m}{3}[/tex]. Tìm giá trị của m để [TEX]d(M;d)[/TEX] đạt min.
Với bài toán đường thẳng này, thì dĩ nhiên không có điểm K cố định nào ở đây cả. Nhưng ta chú ý là với bài toán này, việc sử dụng công thức khoảng cách cho ta 1 hàm số f(m) rất dễ khảo sát để tìm cực trị
Ta có: [tex]d(M;d)=\frac{|\overrightarrow{MK};\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{u}|}[/tex] với K là điểm thuộc d và u là vtcp của d.
Gọi K(1;1;m) thuộc d. Ta có [TEX]\overrightarrow{MK}=(0;0;m-2)=>[\overrightarrow{MK};\overrightarrow{u}]=(7-2m;2(m-2);-2)[/TEX]
=>[TEX]|\overrightarrow{MK};\overrightarrow{u}|=\sqrt{(7-2m)^2+4(m-2)^2+4}=\sqrt{8m^2-44m+69}[/TEX]
Mẫu số trong công thức khoảng cách là độ dài vtcp [TEX]\overrightarrow{u}[/TEX] đã cố định, nên d min khi tử số min.
Dễ dàng khảo sát được [TEX]8m^2-44m+69[/TEX] min khi [tex]m=\frac{11}{4}[/tex]
Nhìn chung có 2 dạng tham số m thay đổi có thể gặp phải như vậy. Còn dạng min max khoảng cách đường thẳng với mặt phẳng, hay giữa 2 mặt phẳng thì không có đâu. Vì nó chỉ có khoảng cách khi đt và mp song song, còn khảo sát gì nữa.
Xem ví dụ dưới đây:
Cho mặt phẳng (P) có phương trình : [TEX]x+my+(2m-2)z-m+1=0[/TEX] và điểm M(0;-4;-3). Khi khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là lớn nhất. Hãy tìm tọa độ hình chiếu của M xuống (P).
Bài toán có mp (P) thay đổi theo tham số m, vậy thì làm sao để có thể đánh giá? Ta nhớ lại bài toán quen thuộc :
Với M và đường thẳng d đã cho trước, viết phương trình (P) chứa d và thỏa mãn [TEX]d(M;(P))[/TEX] là max.
Hoặc là với M và K cho trước, viết ptmp (P) chứa K thỏa mãn [TEX]d(M;(P))[/TEX] là max. Thì chung quy lại đều là hình vẽ mô tả quen thuộc trên. Max đạt tại MK khi K là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Vậy với bài toán này, rõ ràng (P) cũng phải đi qua một cái gì đó cố định như điểm K, thì mới tìm được max.
Các bạn hay nhẩm nghiệm thì dễ dàng nhận ra ngay: (x;y;z)=(1;-1;1) là nghiệm thỏa mãn pt [TEX]x+my+(2m-2)z-m+1=0[/TEX] . Vậy rõ ràng (P) luôn đi qua K(1;-1;1) với mọi giá trị M. Và max khi MK vuông góc với (P). Khi đó tọa độ hình chiếu của M lên (P) chính là tọa độ của K(1;-1;1) . Tưởng như bài toán phức tạp nhưng mà thực ra rất đơn giản.
Đến đây nếu ai tự hỏi : vậy cho tọa độ M thì chả liên quan gì à? Không, tuy không dùng đến nhưng tọa độ M được cho để làm bài toán chặt chẽ. Ta phải kiểm thử xem liệu MK có thể là vecto pháp tuyến của (P) hay không?
Ta có : [tex]\overrightarrow{MK}=(1;3;4)[/tex]
[TEX]\overrightarrow{MK}[/TEX] là vtpt của (P) khi [TEX]n_P=(1;m;2m-2)[/TEX]cùng phương với (P)
<=>[tex]\frac{1}{1}=\frac{m}{3}=\frac{2m-2}{4}<=>m=3[/tex] , tồn tại giá trị m thỏa mãn, vậy K có thể là hình chiếu.
Nếu giả sử M(2;2;3) thì có thể giải pt ta sẽ thấy không có giá trị m nào thỏa mãn điều kiện cùng phương cả. Nhưng các bạn cứ yên tâm không phải kiểm thử, bởi nếu gặp dạng này thì người ra đề chắc chắn đã cho điều kiện cùng phương có thể xảy ra. Nếu không bài toán trở nên rất phức tạp.
Trong trường hợp ta không biết gì về nhẩm điểm cố định và vẫn muốn làm, thì đương nhiên vẫn có cách, đó là sử dụng công thức khoảng cách :
[tex]d(M;(P))=\frac{|-11m+7|}{\sqrt{1+m^2+(2m-2)^2}}[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{\frac{1+m^2+(2m-2)^2}{(7-11m)^2}}}[/tex]
Khoảng cách này max khi mẫu là min, vì tử số đã cố định. Vậy ta tìm min của :
[TEX]\frac{1+m^2+(2m-2)^2}{(7-11m)^2}[/TEX], đạo hàm tìm cực trị sẽ được min tại m=3. Khi đó thay m = 3 vào ptmp (P) và tìm hình chiếu thì vẫn được kết quả K(1;-1;1)
Với bài toán tìm khoảng cách max từ điểm M đến đường thẳng d không cố định.
Cho điểm M(1;0;2) và đường thẳng d: [tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-m}{3}[/tex]. Tìm giá trị của m để [TEX]d(M;d)[/TEX] đạt min.
Với bài toán đường thẳng này, thì dĩ nhiên không có điểm K cố định nào ở đây cả. Nhưng ta chú ý là với bài toán này, việc sử dụng công thức khoảng cách cho ta 1 hàm số f(m) rất dễ khảo sát để tìm cực trị
Ta có: [tex]d(M;d)=\frac{|\overrightarrow{MK};\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{u}|}[/tex] với K là điểm thuộc d và u là vtcp của d.
Gọi K(1;1;m) thuộc d. Ta có [TEX]\overrightarrow{MK}=(0;0;m-2)=>[\overrightarrow{MK};\overrightarrow{u}]=(7-2m;2(m-2);-2)[/TEX]
=>[TEX]|\overrightarrow{MK};\overrightarrow{u}|=\sqrt{(7-2m)^2+4(m-2)^2+4}=\sqrt{8m^2-44m+69}[/TEX]
Mẫu số trong công thức khoảng cách là độ dài vtcp [TEX]\overrightarrow{u}[/TEX] đã cố định, nên d min khi tử số min.
Dễ dàng khảo sát được [TEX]8m^2-44m+69[/TEX] min khi [tex]m=\frac{11}{4}[/tex]
Nhìn chung có 2 dạng tham số m thay đổi có thể gặp phải như vậy. Còn dạng min max khoảng cách đường thẳng với mặt phẳng, hay giữa 2 mặt phẳng thì không có đâu. Vì nó chỉ có khoảng cách khi đt và mp song song, còn khảo sát gì nữa.
