Toán 9 Cực trị hình học :Diện tích và chu vi tứ giác nằm trong hình vuông

[Vân Ngọc 1406]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD và M,N,P,Q lần lượt thuộc bốn cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh rằng [tex]S_{ABCD}\leq \frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)[/tex]
b) Xác định vị trí của M,N,P,Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Help me! Pleaseeeeeeeeeeeeeeee!

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cho hình vuông ABCD và M,N,P,Q lần lượt thuộc bốn cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh rằng [tex]S_{ABCD}\leq \frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)[/tex]
b) Xác định vị trí của M,N,P,Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Help me! Pleaseeeeeeeeeeeeeeee!

b, áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ta có:
[tex]+,MQ=\sqrt{AM^2+AQ^2}\geq \sqrt{\frac{(AM+MQ)^2}{2}}=\frac{AM+MQ}{\sqrt{2}}\\\\ +,MN\geq \frac{BM+BN}{\sqrt{2}}; NP\geq \frac{NC+CP}{\sqrt{2}}\\\\ +,MP\geq \frac{DP+DQ}{\sqrt{2}}\\\\ => MQ+MN+NP+MP\geq \frac{AB+BC+CD+DA}{\sqrt{2}}=\frac{4AB}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}AB[/tex]
suy ra chu vi tứ giác MNPQ [tex]\geq 2\sqrt{2}AB[/tex]
dấu "=" <=> AM=AQ; BM=BN; NC=CP; DP=DQ
<=> .... <=> AM=MB=BN=CN=CP=PD=DQ=QA <=> M;N;P;Q lần lượt là trung điểm của AB;BC;CD;DA
a, áp dụng trên => [tex]\frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)\geq \frac{AC}{4}.\frac{4AB}{\sqrt{2}}=AB^2=S_{ABCD}[/tex]
dấu "=" <=>....

 

[Vân Ngọc 1406]

b, áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ta có:
[tex]+,MQ=\sqrt{AM^2+AQ^2}\geq \sqrt{\frac{(AM+MQ)^2}{2}}=\frac{AM+MQ}{\sqrt{2}}\\\\ +,MN\geq \frac{BM+BN}{\sqrt{2}}; NP\geq \frac{NC+CP}{\sqrt{2}}\\\\ +,MP\geq \frac{DP+DQ}{\sqrt{2}}\\\\ => MQ+MN+NP+MP\geq \frac{AB+BC+CD+DA}{\sqrt{2}}=\frac{4AB}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}AB[/tex]
suy ra chu vi tứ giác MNPQ [tex]\geq 2\sqrt{2}AB[/tex]
dấu "=" <=> AM=AQ; BM=BN; NC=CP; DP=DQ
<=> .... <=> AM=MB=BN=CN=CP=PD=DQ=QA <=> M;N;P;Q lần lượt là trung điểm của AB;BC;CD;DA
a, áp dụng trên => [tex]\frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)\geq \frac{AC}{4}.\frac{4AB}{\sqrt{2}}=AB^2=S_{ABCD}[/tex]
dấu "=" <=>....

Thanks nha!