Toán 9 Cực trị hình học :Diện tích và chu vi tứ giác nằm trong hình vuông

Vân Ngọc 1406

Banned
Banned
Thành viên
11 Tháng mười một 2018
201
174
51
Hải Dương
THCS Vũ Hữu
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD và M,N,P,Q lần lượt thuộc bốn cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh rằng [tex]S_{ABCD}\leq \frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)[/tex]
b) Xác định vị trí của M,N,P,Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Help me! Pleaseeeeeeeeeeeeeeee!
 

shorlochomevn@gmail.com

Học sinh tiến bộ
Thành viên
15 Tháng chín 2018
847
2,251
256
Bắc Ninh
trường THCS Song Liễu
Cho hình vuông ABCD và M,N,P,Q lần lượt thuộc bốn cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh rằng [tex]S_{ABCD}\leq \frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)[/tex]
b) Xác định vị trí của M,N,P,Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Help me! Pleaseeeeeeeeeeeeeeee!
b, áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ta có:
[tex]+,MQ=\sqrt{AM^2+AQ^2}\geq \sqrt{\frac{(AM+MQ)^2}{2}}=\frac{AM+MQ}{\sqrt{2}}\\\\ +,MN\geq \frac{BM+BN}{\sqrt{2}}; NP\geq \frac{NC+CP}{\sqrt{2}}\\\\ +,MP\geq \frac{DP+DQ}{\sqrt{2}}\\\\ => MQ+MN+NP+MP\geq \frac{AB+BC+CD+DA}{\sqrt{2}}=\frac{4AB}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}AB[/tex]
suy ra chu vi tứ giác MNPQ [tex]\geq 2\sqrt{2}AB[/tex]
dấu "=" <=> AM=AQ; BM=BN; NC=CP; DP=DQ
<=> .... <=> AM=MB=BN=CN=CP=PD=DQ=QA <=> M;N;P;Q lần lượt là trung điểm của AB;BC;CD;DA
a, áp dụng trên => [tex]\frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)\geq \frac{AC}{4}.\frac{4AB}{\sqrt{2}}=AB^2=S_{ABCD}[/tex]
dấu "=" <=>....
 
  • Like
Reactions: Vân Ngọc 1406

Vân Ngọc 1406

Banned
Banned
Thành viên
11 Tháng mười một 2018
201
174
51
Hải Dương
THCS Vũ Hữu
b, áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ta có:
[tex]+,MQ=\sqrt{AM^2+AQ^2}\geq \sqrt{\frac{(AM+MQ)^2}{2}}=\frac{AM+MQ}{\sqrt{2}}\\\\ +,MN\geq \frac{BM+BN}{\sqrt{2}}; NP\geq \frac{NC+CP}{\sqrt{2}}\\\\ +,MP\geq \frac{DP+DQ}{\sqrt{2}}\\\\ => MQ+MN+NP+MP\geq \frac{AB+BC+CD+DA}{\sqrt{2}}=\frac{4AB}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}AB[/tex]
suy ra chu vi tứ giác MNPQ [tex]\geq 2\sqrt{2}AB[/tex]
dấu "=" <=> AM=AQ; BM=BN; NC=CP; DP=DQ
<=> .... <=> AM=MB=BN=CN=CP=PD=DQ=QA <=> M;N;P;Q lần lượt là trung điểm của AB;BC;CD;DA
a, áp dụng trên => [tex]\frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)\geq \frac{AC}{4}.\frac{4AB}{\sqrt{2}}=AB^2=S_{ABCD}[/tex]
dấu "=" <=>....
Thanks nha!:Tonton16
 
Top Bottom