- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. điểm thuộc mắt cầu
- mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2[/tex]
hoặc [tex]x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+a^2+b^2+c^2-R^2=0[/tex]
điểm [tex]M(x_0;y_0;z_0)\in (S)<=>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2[/tex]
các bài toán:
+ độ dài, khoảng cách, góc, diện tích, thể tích, thể tích
+ tính GTLN, GTNN của biểu thức: [tex]P=\alpha .x_0+\beta .y_0+\gamma .z_0[/tex]
bài toán này ta thường sử dụng bất đẳng thức cauchy-shwarz có 3 bộ số để tính.
[tex](ax+by+cz)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)[/tex]
hay: [tex]-\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}\leq ax+by+cz\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}[/tex]
dấu "=" bên trái: [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\ ax+by+cz=-\sqrt{k} \end{matrix}\right.[/tex]
dấu "=" bên phải: [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\ ax+by+cz=\sqrt{k} \end{matrix}\right.[/tex]
+ diện tích: [tex]S=\frac{1}{2}.AB.AC.sin\widehat{BAC}[/tex] hoặc [tex]S=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \right |[/tex]
+ thể tích: [tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}.\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD} \right |=\frac{1}{3}.S_{ABC}.d(D,(ABC))[/tex]
- bất đẳng thức tam giác:
+ bộ 3 điểm A, B, C có: [tex]AB+AC\geq BC[/tex]. dấu bằng xảy ra khi A nằm trên đoạn BC.
+ [tex]|AB-AC|\leq BC[/tex]. dấu bằng xảy ra khi A nằm ngoài đoạn BC. A, B, C thẳng hàng.
+ G là trọng tâm tam giác ABC: [tex]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3.\overrightarrow{MG}[/tex]
+ G là trọng tâm tứ diện ABCD: [tex]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4.\overrightarrow{MG}[/tex]
2. ví dụ
ví dụ 1: cho mặt cầu [tex](S):x^2+y^2+z^2=36[/tex]. A, B, C di động trên mặt cầu (S) sao cho A, B, C, O không đồng phẳng. tính thể tích lớn nhất của khối chóp O.ABC.
giải:
(S) có tâm O, bán kính R=6.
[tex]V_{O.ABC}=\frac{1}{3}.S_{OAB}.d(C,(OAB))=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.OA.OB.sin\widehat{AOB}.OC.sin(OC,(OAB))=\frac{1}{6}.OA.OB.OC.sin\widehat{AOB}.sin(OC,(OAB))\leq \frac{1}{6}.R^3.1.1=\frac{1}{6}.R^3=36[/tex]
do đó, thể tích lớn nhất của khối chóp là 36.
dấu bằng xảy ra khi tứ diện OABC là tứ diện vuông tại O.
ví dụ 2: cho mặt cầu [tex](S):x^2+y^2+z^2=9[/tex]. A, B, C di động trên mặt cầu (S). tính GTLN của biểu thức [tex]P=AB^2+BC^2+CA^2[/tex].
giải:
(S) có tâm là O, bán kính R=3.
gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
[tex]3.\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}<=>9.OG^2=OA^2+OB^2+OC^2+2.(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC})[/tex]
nên : [tex]9.OG^2=3.R^2+2.(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC})[/tex]
lại có: [tex]AB^2+BC^2+AC^2=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})^2+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}^2=2.(OA^2+OB^2+OC^2)-2.(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC})=6.R^2-(9.OG^2-3R^2)\leq 9.R^2=81[/tex]
dấu bằng xảy ra khi O trùng với G, tức là tam giác ABC đều và nằm trong mặt phẳng chứa đường kính của mặt cầu.
- mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2[/tex]
hoặc [tex]x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+a^2+b^2+c^2-R^2=0[/tex]
điểm [tex]M(x_0;y_0;z_0)\in (S)<=>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2[/tex]
các bài toán:
+ độ dài, khoảng cách, góc, diện tích, thể tích, thể tích
+ tính GTLN, GTNN của biểu thức: [tex]P=\alpha .x_0+\beta .y_0+\gamma .z_0[/tex]
bài toán này ta thường sử dụng bất đẳng thức cauchy-shwarz có 3 bộ số để tính.
[tex](ax+by+cz)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)[/tex]
hay: [tex]-\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}\leq ax+by+cz\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}[/tex]
dấu "=" bên trái: [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\ ax+by+cz=-\sqrt{k} \end{matrix}\right.[/tex]
dấu "=" bên phải: [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\ ax+by+cz=\sqrt{k} \end{matrix}\right.[/tex]
+ diện tích: [tex]S=\frac{1}{2}.AB.AC.sin\widehat{BAC}[/tex] hoặc [tex]S=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \right |[/tex]
+ thể tích: [tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}.\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD} \right |=\frac{1}{3}.S_{ABC}.d(D,(ABC))[/tex]
- bất đẳng thức tam giác:
+ bộ 3 điểm A, B, C có: [tex]AB+AC\geq BC[/tex]. dấu bằng xảy ra khi A nằm trên đoạn BC.
+ [tex]|AB-AC|\leq BC[/tex]. dấu bằng xảy ra khi A nằm ngoài đoạn BC. A, B, C thẳng hàng.
+ G là trọng tâm tam giác ABC: [tex]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3.\overrightarrow{MG}[/tex]
+ G là trọng tâm tứ diện ABCD: [tex]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4.\overrightarrow{MG}[/tex]
2. ví dụ
ví dụ 1: cho mặt cầu [tex](S):x^2+y^2+z^2=36[/tex]. A, B, C di động trên mặt cầu (S) sao cho A, B, C, O không đồng phẳng. tính thể tích lớn nhất của khối chóp O.ABC.
giải:
(S) có tâm O, bán kính R=6.
[tex]V_{O.ABC}=\frac{1}{3}.S_{OAB}.d(C,(OAB))=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.OA.OB.sin\widehat{AOB}.OC.sin(OC,(OAB))=\frac{1}{6}.OA.OB.OC.sin\widehat{AOB}.sin(OC,(OAB))\leq \frac{1}{6}.R^3.1.1=\frac{1}{6}.R^3=36[/tex]
do đó, thể tích lớn nhất của khối chóp là 36.
dấu bằng xảy ra khi tứ diện OABC là tứ diện vuông tại O.
ví dụ 2: cho mặt cầu [tex](S):x^2+y^2+z^2=9[/tex]. A, B, C di động trên mặt cầu (S). tính GTLN của biểu thức [tex]P=AB^2+BC^2+CA^2[/tex].
giải:
(S) có tâm là O, bán kính R=3.
gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
[tex]3.\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}<=>9.OG^2=OA^2+OB^2+OC^2+2.(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC})[/tex]
nên : [tex]9.OG^2=3.R^2+2.(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC})[/tex]
lại có: [tex]AB^2+BC^2+AC^2=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})^2+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}^2=2.(OA^2+OB^2+OC^2)-2.(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC})=6.R^2-(9.OG^2-3R^2)\leq 9.R^2=81[/tex]
dấu bằng xảy ra khi O trùng với G, tức là tam giác ABC đều và nằm trong mặt phẳng chứa đường kính của mặt cầu.
