Cực trị 2

D

demon311

Xét Cauchy cho từng cặp:

$x^2+\dfrac{ 1}{x^2}=|x|^2+|\dfrac{ 1}{x}|^2 \ge 2\sqrt{ \dfrac{ x^2}{x^2}}=2 \\
y^2+\dfrac{ 1}{y^2}=|y|^2+|\dfrac{ 1}{y}|^2 \ge 2\sqrt{ \dfrac{ y^2}{y^2}}=2 $
Cộng lại:

$x^2+\dfrac{ 1}{x^2}+y^2+\dfrac{ 1}{y^2} \ge 4$

Dấu bằng:

$x^2=\dfrac{ 1}{x^2} \rightarrow x=\pm 1 \\
y^2=\dfrac{ 1}{y^2} \rightarrow y=\pm 1 \\
$
 
Last edited by a moderator:
T

transformers123

$\dfrac{1}{x^2} + x^2 + \dfrac{1}{y^2} + y^2 \ge 2\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}} + 2\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2}}=4$
dấu "=" xảy ra khi$x^2=y^2=1$
 
Last edited by a moderator:
S

soccan

$A=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$
$=(x-y)^2+(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^2+(2xy+\frac{2}{xy}) \ge 2\sqrt{2xy.\frac{2}{xy}}=4 (BĐT Cauchy) $
Dấu "=" xảy ra $\Longleftrightarrow x=y=1, hay x=y=-1 $
 
Last edited by a moderator:
B

buivanbao123

Ta có:
A=$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}$ \geq $(x^{2}+y^{2})+\dfrac{4}{x^{2}+y^{2}}$ \geq 4 (bất đẳng thức cô si cho $(x^{2}+y^{2})$ và $\dfrac{4}{x^{2}+y^{2}}$)
Dấu = xảy ra khi x=y=$\pm$ 1
 
D

demon311

Nếu đưa về $x^2=|x|^2$ thì cứ Cauchy thoải mái:

$x^2+\dfrac{ 1}{x^2}+y^2+\dfrac{ 1}{y^2} \ge 4\sqrt[4]{x^2y^2\dfrac{ 1}{x^2}\dfrac{ 1}{y^2}}=4$

Dấu bằng: $x=\pm 1 \\
y=\pm 1$
 
C

congchuaanhsang

Em thấy những bài kiểu này thì không nên đưa về Cauchy

Áp dụng $a^2+b^2 \ge 2ab$ (do $(a-b)^2 \ge 0$) với mọi a,b

$x^2+\dfrac{1}{x^2} \ge 2$

$y^2+\dfrac{1}{y^2} \ge 2$

Cộng từng vế được BT \geq 4
 
C

congchuaanhsang

Nếu muốn Cauchy thì lại dùng dưới dạng

$a^2+b^2 \ge 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab| \ge 2ab$

sẽ chặt chẽ hơn
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom